2017学年八年级数学下册4.5一次函数的应用面积与一次函数素材（新版）湘教版

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1、面积与一次函数将一次函数与面积综合在一起进行考查，是目前比较热点的一类题型，充分体现了数形结合思想的具体应用，现举例加以说明．一、由一次函数图象求面积例1已知直线y=kx+b过点A（－1，5），且平行于直线y=－x+2．（1）求直线y=kx+b的关系式；（2）若B（m，－5）在这条直线上，O为原点，求m的值及．分析：（1）由y=kx+b与直线y=－x+2平行可得k=－1，再将点A代入，即可求出直线关系式；（2）将点B代入（1）中直线关系式，可求得m，再把△AOB化为△AOC与△BOC的和，利用三角形面积公式可求出面积．解：（1）由两直线平行，得k=－1，由此得y=－x+b，将点A代

2、入，得5=－（－1）+b，所以b=4，故直线关系式为y=－x+4．（2）为了方便求解，我们可以在直角坐标系中画出符合条件的示意图，如图1，把B（m，－5）代入y=－x+4，得m=9，因此B点坐标为（9，－5）。由y=－x+4可求得与y轴交点C坐标为（0，4）．所以=+=××4+×9×4=20．点评：涉及一次函数图象与坐标轴围成的面积问题，在解题过程中，应先画出符合题意的草图，把复杂图形以图形与坐标轴的交点为界，分割成若干个以坐标轴为底的小三角形来求解．二、由面积关系求一次函数关系式例2如图2，直线PA是一次函数y=x+n（n＞0）的图象，直线PB是一次函数y=－2x+m（m＞n）的

3、图象．（1）用m、n表示A、B、P的坐标；（2）设PA交y轴于点Q，若AB=2，四边形PQOB的面积为，求P点坐标和直线PA、PB的关系式．分析：（1）分别令y=0，代入两个一次函数，可求出A、B两点的坐标；要求P的坐标，只要把y=x+n与y=2x+m联立，得到关于x、y的二元一次方程组，可求得含有m、n的x、y值，即可得P点的坐标；（2）由四边形PQOB的面积等于△PAB的面积减去△AOQ的面积，可求出m、n，从而求出P点坐标和直线PA、PB的关系式．解：（1）在y=x+n中，令y=0，得x=－n，所以A（－n，0）；在y=－2x+m中，令y=0，得x=m，所以B（m，0）；由，

4、解得，所以P（，）．（2）由y=x+n，得Q（0，n），所以QO=n。因为A（－n，0），所以OA==n。所以=－=×2×－n2=，即2m+4n－3n2=5。又OA+OB=n+m=2，即m=4－2n。所以2（4－2n）+4n－3n2=5，所以n2=1，所以n=1（负值舍去），所以m=4－2×1=2，所以P（，）。所以直线PA的关系式为y=x+1；PB的关系式为y=－2x+2．点评：对于不规则的几何图形的面积，可以通过转化的思想，化不规则为规则，如本题中将四边形PQOB的面积，转化为两个规则图形△PAB与△AOQ面积的差去解决的．通过以上两道例题可以看出，解决一次函数与面积问题的基本

5、步骤是：（1）确定交点坐标（有时可用待定系数表示）；（2）求出有关线段的长度；（3）将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图象与面积间的关系综合求解．