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《第5章 曲线与曲面3.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、6.2常用参数曲线6.2.2B样条曲线Bézier曲线是一段n次多项式曲线，它具有许多优点，如凸包性、保凸性等，但也存在缺点：Bézier曲线不能作局部修改，修改某一个控制顶点将影响整条曲线；Bézier曲线的阶次完全由其控制多边形的顶点个个数决定；当表示复杂形状时，无论采用高次曲线还是多段低次曲线拼接起来的曲线，都相当复杂。要克服Bézier曲线的缺点，需要对它进行推广。Bézier曲线的缺点，0≤t≤1分段多项式曲线Bézier曲线的自然推广是分段多项式曲线，其特点是每个基函数有影响的区域是有限的。早在20世纪40年代人们就发现了多项式样条曲
2、线，但直到60年代末，由于CAD技术的发展和计算机图形学的兴起，人们才逐步了解到它的重要性，并得到深入的研究和广泛的应用。1972年，德布尔（deBoor）与考克斯（Cox）分别给出了B样条的标准计算方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorder）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面，B样条曲线使得控制多边形的顶点数与曲线的阶次无关，并可进行局部调整，而且曲线更逼近于控制多边形。6.2.2.1B样条基函数的定义和性质给定参数t轴上的一个分割(ti≤ti+1，i=0，±1，±2…)。由下列递推
3、关系所定义的Bi,k(t)称为T的k阶(或k-1次）B样条基函数。并约定0/0＝0。此处称为节点向量，称为节点。当满足时，则称上式中除和以外的每一节点为T的重节点若ti+1-ti=常数，则称Bi,k(t)为k阶均匀B样条基函数；反之，则称Bi,k(t)为k阶非均匀B样条基函数。B样条基函数的推导：1B样条基函数示意图Bi,2(t)Bi+1,2(t)Bi,3(t)Bi+1,3(t)Bi,4(t)titi+1ti+2ti+3ti+4titi+1ti+2ti+3ti+4titi+1ti+2ti+3ti+41Bi,1(t)Bi+1,1(t)titi+1t
4、i+2ti+3ti+4即只在区间中为正，在其它地方的值均为零(k>1)。(1)局部性B样条基函数的性质tj-ktj+1-ktjtj+qtj+q-1当k>1时，当时，显然成立.假设时成立,现证明时也成立。因为：上式右端第项的第二项和第项的第一项合并得由的局部性知，如果取，，则根据≥0及上式,可把看作是计算平均值的权.(2)权性证用归纳法。B样条基函数的性质(3)分段多项式在其值不为零的区间上是次数不高于次的多项式，在值为零的区间上是零次多项式，从而它在整个参数轴上是次数不高于次的分段多项式。(4)连续性节点的重数每增加一次，的连续阶就减少一次,因此
5、,在重节点处的连续阶不低于阶。(5)求导公式B样条基函数的性质K+1阶（K次）B样条基函数在规范化参数区间（0≤t≤1)有以下的等价表示形式：Bi,k+1(t)=(1/k!)∑k-i(-1)jCj(t+k-i-j)k,0≤t≤1,i=0,1,…k说明：我们在下边的关于B样条曲线的定义中，使用该表示形式，该形式对于研究B样条函数的性质非常方便。B样条基函数的性质(6)等价表示j=0k+16.2.2.2B样条曲线的定义和性质P2P0P1PnB样条曲线及其控制多边形在空间给定m+n+1个控制点，用向量Pi表示（i=0,1,…,m+n），称n次(n+1阶
6、）参数曲线：nltPtPnllini...,1,010)(0tBn+1l)(,,=££=å=+，，为n次B样条的第i段曲线(i=0,1,…,m)。其中：Bl,n+1(t)为B样条基函数，即：Bl,n+1(t)=0,1,…n依次用直线段连接相邻的两个控制点Pi+l与Pi+l+1（l=0,1,…,n–1），将得到的折线称为第i段的B控制多边形。由第i段的B控制多边形决定的B样条曲线称为第i段B样条曲线。由于任意一段的B样条曲线具有相同的几何性质，因此取i=0，即第0段的B样条曲线进行研究，第0段的B样条曲线定义式为：在实际应用中，最常用的是二次和三次
7、B样条曲线。下面它们的表示形式和性质6.2.2.2B样条曲线的定义和性质Bl,n+1(t)，由得：P(t)=P0B0,3(t)+P1B1,3(t)+P2B2,3(t)=[(t+2)2-3(t+1)2+3t2]P0+[(t+1)2-3t2]P1+t2P2=(t2-2t+1)P0+(-2t2+2t+1)P1+t2P2=[t2t1]6.2.2.2B样条曲线的定义和性质二次B样条曲线表示和性质几何表示Bl,3(t)2121212121212-21-220110P0P1P2120≤t≤1位置矢量：分别令t=0,t=1得：P(0)=[0201]=(P0+P1
8、)P(1)=[1211]=(P1+P2)6.2.2.2B样条曲线的定义和性质二次B样条曲线表示和性质端点性质-21-220110P0P1
