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1、第4章曲线和曲面4.1曲线和曲面的基础知识4.2常用参数曲线4.3常用参数曲面习题4.1曲线和曲面的基础知识4.1.1曲线及其参数表示1.参数曲线的分类曲线分为规则曲线和拟合曲线(不规则曲线)两大类。所谓规则曲线就是具有确定描述函数的曲线,如直线、圆锥曲线等。2.参数曲线的定义如图4.1所示,对于三维空间上连续的单值参数曲线可定义为它是三维空间上的一个有界点集,t=0和t=1分别为参数曲线的两个端点参数。图4.1参数曲线及其几何量3.参数曲线的几何量以下的几何量示意图参见图4.1。1)位置矢量对于三维参数曲线,曲线上任一点的位置矢量(即其坐标),可用矢量P(t)表
2、示P(t)=［x(t)y(t)z(t)］2)切矢量对于三维参数曲线,曲线上任一点的切矢量可用矢量P′(t)表示,P′(t)=［x′(t)y′(t)z′(t)］。其大小反映了曲线关于参数t在该点处的变化速度,其方向趋于该点的切线方向。对于一般参数t,若
3、dP/dt
4、≠0,则有对于弧长参数s,通常称矢量T为单位切矢量。3)曲率设以弧长s为参数,则参数曲线上任一点的曲率定义为k=
5、dT/ds
6、。因此即称ρ=1/k为曲率半径。4)法矢量上述讨论中T是单位切矢量,dT/ds是一个与T垂直的矢量。将与dT/ds平行的单位矢量记作N。对于空间的参数曲线,所有垂直于切矢量T的矢量
7、都是法矢量。因此,曲线上某一点处就有一束法线,它们在一个平面上,我们称此平面为曲线在该点处的法平面,而把平行于矢量N的法线叫作曲线在该点的主法线,N称为单位主法线矢量。矢量积B=T·N,是一个与T和N垂直的矢量。把平行于矢量B的法线叫做曲线的副法线,B称为单位副法线矢量。T、N和B是三个互相垂直的单位矢量,构成了曲线在该点处的直角坐标系,它在曲线给定点上决定了三个基本方向。通过曲线上这个给定点,把由矢量T和N张成的平面称为密切平面,把由矢量N和B张成的平面称为法平面,把由矢量B和T张成的平面称为化直平面。5)挠率仍设以弧长s为参数,则参数曲线上任一点的挠率定义为τ
8、=
9、dB/ds
10、,它反映了曲线在该点处扭出其密切平面的速率。对于平面曲线,密切平面就是曲线所在的平面,其副法矢量是固定不变的,有dB/ds=0,因此,确定曲线为平面曲线的充要条件是,曲线上任意点处的挠率等于零。对于非平面曲线,矢量B不再是常数,它说明了曲线在该点处的扭挠性质。4.参数曲线的代数形式和几何形式在以下的讨论中,以三次参数曲线为例。三次参数曲线的代数形式是x(t)=a3xt3+a2xt2+a1xt+a0xy(t)=a3yt3+a2yt2+a1yt+a0yz(t)=a3zt3+a2zt2+a1zt+a0zt∈［0,1］其矢量表示式为P(t)=a3t3+a2
11、t2+a1t+a0t∈［0,1］(4-1)其中,a3、a2、a1、a0是其代数系数矢量,它们惟一地确定了一条曲线的形状和位置。因而,只要a3、a2、a1、a0确定,该三次参数曲线也就惟一地确定了。为了确定a3、a2、a1、a0,我们可以选择端点矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率等几何量作为条件。假设已知两个端点矢量分别为P(0)和P(1),端点切矢量分别为P′(0)和P′(1),下面我们来确定a3、a2、a1、a0。由式(4-1)得P′(t)=3a3t2+2a2t+a1(4-2)将上述的已知条件代入(4-1)式和(4-2)式得P(0)=a0P(1)=a3+a2+a1
12、+a0P′(0)=a1P′(1)=3a3+2a2+a1由上述方程组可求得a0=P(0)a1=P′(0)a2=-3P(0)+3P(1)-2P′(0)-P′(1)a3=2P(0)-2P(1)+P′(0)+P′(1)令P0=P(0),P1=P(1),P′0=P′(0),P′1=P′(1),将a3、a2、a1、a0代入式(4-1)得P(t)=(2t3-3t2+1)P0+(-2t3+3t2)P1+(t3-2t2+t)P′0+(t3-t2)P′1t∈［0,1］(4-3)令F1=2t3-3t2+1,F2=-2t3+3t2,F3=t3-2t2+t,F4=t3-t2,则式(4-3)
13、可写为P(t)=F1P0+F2P1+F3P′0+F4P′1(4-4)由于F=［F1F2F3F4］可以写成则P=FB可表示为P=TMB，并且A=MB,B=M-1A。5.重新参数化如图4.2所示,设曲线的原参数为t,其两个端点参数分别为ti和tj,几何系数矩阵为B1=［PiPjP′iP′j］T,曲线的新参数为w,其两个端点参数分别为wi和wj,几何系数矩阵为B2=［RiRjR′iR′j］T。由于端点位置矢量不变,因而有Ri=Pi,Rj=Pj。为了保证曲线切矢量的方向不变,且参数化的方程仍为三次,则w和t必存在线性关系,令w=at+b,于是有图4.2曲线重新参数化由此求
14、得因为所以
