第13章 曲线与曲面

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1、第13章曲线与曲面提高篇§13－1概述§13－2曲线的基本概念、投影及性质§13－3工程上常用的曲线§13－4曲线的拟合§13－5曲面的基本概念§13－6直纹面§13－8曲纹曲面§13－7螺旋面§13－9曲面的骨架给定法§13－10曲面的切平面§13－1概述在日常生活中，曲线曲面比比皆是，从宏观看如河流、道路、空中架设的电线、子弹在空中飞行的轨道等均可看作曲线。多种机械零件和建筑物的表面为曲面，如汽车的外壳、飞机的机身及船体的表面等等均为曲面，建筑物如悉尼歌剧院的墙面等。曲线曲面普片存在于整个宇宙空间之中，并被广泛应用于工程实际中。曲线曲面的造型设

2、计一直是工程界和图学界的主攻研究方向。无论在理论上，还是在实际中都具有极其重要的意义。特别是计算技术在曲线曲面研究的应用，使得曲线曲面的研究取得了日新月异的进展。本章重点研究工程上应用广泛的曲线曲面，同时还将介绍曲线的拟合，曲面的骨架给定等内容，为曲线曲面的造型设计打下基础。§13－2曲线的基本概念、投影及性质本节内容：曲线的形成；曲线的分类；曲线的图示给定；曲线的一般投影性质；曲线的实长。一、曲线的形成（1）轨迹法：曲线是点运动的轨迹（2）交线法：曲线可看作是平面与曲面或曲面与曲面的交线（3）包络线法：曲线可看作是由某一线束（直线族、曲线族）包络

3、而成。轨迹法两曲面交线法包络线法二、曲线的分类曲线平面曲线：曲线上所有的点都在同一平面内的曲线。如圆、抛物线。空间曲线：曲线任意连续的四个点不在同一平面内的曲线。如螺旋线。曲线规则曲线：点按一定规律运动形成的曲线。如正弦曲线、圆、抛物线、螺旋线等不规则曲线：只能用图形或近似的数学方程式近似表示的曲线。如机翼曲线、分子运动曲线。三、曲线的图示给定曲线是点的集合，曲线的投影可以用连接曲线上的各点的同面投影给定。为确切地表示出曲线，常常将曲线上的一些特殊点，如起点、终点、极限点、反曲点、曲率极值点。MNABCDEFafedcmnb1254363′2′4′

4、5′1′6′1354263′2′4′5′6′注意：在绘制曲线投影时，应将各特殊点标注出来。如上图所示，两曲线的两面投影相同，但是是不同的曲线。2、3点是重影点。四、曲线的一般投影性质（1）曲线的投影一般为曲线。一般情况下，其投影的次数不变，特殊情况下，投影的次数可能减少，但曲线的三投影不可能同时为直线。（2）曲线上点的投影必在曲线的同面投影上。（3）直线与曲线相交，其投影必定相交。（4）直线与曲线相切，其投影相切，且切点不变。（5）平面曲线上具有切点性质的奇异点，如反曲点（拐点）、尖点（回折点）、多重点（结点），投影后其性质不变，即反曲点、尖点、多

5、重点仍为反曲点、尖点、多重点。MNABCDEFafedcmnbKk五、曲线的实长工程上的曲线实长常采用近似图解法求得，作图时先将空间曲线展成平面曲线，再展成直线。将空间曲线分成很多段，用直角三角形法求出每一段的实长，将各段实长相加即近似得到空间曲线的实长。§13－3工程上常用的曲线工程实践中应用最广的平面曲线有圆锥曲线（二次曲线）及阿基米德螺线、渐开线、摆线等几种特殊的曲线；应用最广的空间曲线有螺旋线。一、二次曲线方程（1）二次曲线的一般方程:（2）圆锥曲线方程二次曲线方程经过坐标变换和化简之后，最常见的二次方程有：由于这些曲线可用平面截切圆锥得到

6、，故称这些曲线为圆锥曲线过锥顶两相交直线圆θθ=90°PV椭圆αθθ＞α抛物线θαθ=α双曲线αθ=0°＜αPVPVPVPV二、圆的投影及性质（1）当圆平面平行于投影面时，其投影反映其实形圆；（2）当圆平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线；（3）当圆平面倾斜于投影面时，其投影为椭圆，且投影椭圆的长轴为过圆心的一条投影面平行线，而投影椭圆的短轴为过圆心的一条最大斜度线。圆上一对相互垂直的直径投影成椭圆的一对共轭直径。βOoABCDbadcaba′b′cdd′c′Ⅰ′Ⅱ′ⅠⅡⅣ′Ⅲ′ⅢⅣoo′【例题】在四边形平面上，以O圆心，半径R=30，作圆的两面

7、投影。三、椭圆的及其投影特性四、几种特殊的平面曲线（1）在特定条件下，椭圆的投影可能为一个圆。（2）椭圆一对共轭直径，投影后性质不变，即仍为其投影椭圆的一对共轭直径。阿基米德螺线、渐开线、摆线。五、圆柱螺旋线1、圆柱螺旋线的形成一动点沿圆柱母线作等速直线运动，同时该母线又绕圆柱的轴线作等速旋转运动，点在空间的复合运动轨迹称为圆柱螺旋线。2、圆柱螺旋线的三个基本要素圆柱直径；旋向；导程。3、圆柱螺旋线的投影（1）画出导圆柱的投影，将底圆和导程分为n等份；（2）由圆周上各等分点作垂线，与导程上相应的等分点的水平直线相交，得出1′、2′、3′…….即为螺

8、旋线的投影。（3）依次光滑连接1′、2′、3′…….点，即得到螺旋线的正面投影。螺旋线的正面投影为一正弦曲线，圆柱后面的部