离散数学ch6 函数.ppt

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1、第六章　函数第一节目录函数的基本概念第二节目录逆函数和复合函数第三节目录特征函数和模糊子集第四节目录基数的概念第五节目录可数集和不可数集第六节目录基数的比较函数是具有特殊性质的关系，用于把一个集合元素变换成另一个集合的元素。第一节函数的基本概念一.函数的定义1.函数的定义2.函数相等的定义3.函数的构成4.n之函数二.特殊函数1.定义2.有限集上单，满射关系3.举例返回总目录函数的定义（变换、映射）1．定义：设X和Y是集合，从X到Y的函数f是满足下列条件的关系：xX，!yY，使f(记为y=f(x))。X称为是f的定义域，Y称为是f的陪域。x称为自变元，y称为函

2、数值。1.函数的定义返回第一节目录注：例题1例题21.函数的定义注意1：关系R的前域：dom(R)={x∣y∣R}。关系R的值域：ran(R)={y∣x∣R}注意2：若X’X，f(X’)读作函数f对X’的映象。f(X’)={y∣x(xX’∧y=f(x))}注:在函数中，关系的前域为XDom(f)=X,ran(f)Y，ranf也可记为f(X)，读为f的值域，或象集合。返回函数的定义1.函数的定义a).f={,,,}是不是一个函数？不是b).f={,}是不是一个函数？不是c).f={

3、1,x2>

4、x1,x2N，x2为小于x1的素数个数}是d).f={

5、x1,x2N，x1+x2<10}，对于x1,x2不唯一。不是例1：设X={a,b,c},Y={a,b,c},返回函数的定义1.函数的定义即：f(a)=1，f({a})={1}f(b)=3，f({a,b})={1,3}f(c)=2，f({a,b,c})={1,2,3}f(d)=4则f()=例2：f:{a,b,c,d}→{1,2,3,4}。用图定义返回函数的定义abcd1234函数相等的定义：设f:X→Y,g:W→Z，若X=W,Y=Z,且xX,有f(x)=g(x),则称f=g。例如：f:I→

6、I,f(x)=x2；f:{1,2,3}→I,f(x)=x2是两个不同的函数。2.函数相等的定义返回第一节目录3.函数的构成用YX表示从集合X到集合Y的所有函数的集合，设∣X∣=m，∣Y∣=n,因集合X中每个自变元，其函数值有n种取法。∴∣YX∣=n……n=nm返回第一节目录4.n元函数例4:a)p:X*Y→Y，p(x,y)=x.p称为投影函数。b)f:X→ρ(X*Y)，（ρ(X*Y）为X*Y的幂集）.f(x)={x}*Y.f称为截痕函数。c)若X=.Y是任意集合，则空关系是从X到Y的空函数。若X≠,Y=,则唯一的关系是空关系不是一个函数。（条件为真，结论不成立）返回第一节目

7、录具有定义域X=Xni=1xi的函数f叫做n元函数，函数值用f(x1……xn)表示。二.特殊函数定义：设f是从X到Y的函数。a)若f(X)=Y,那么称为满射,即yY,xX,使f(x)=y.b)若x1,x2X,x1x2f(x1)f(x2)(即若f(x1)=f(x2)x1=x2),那么称f是入射（或单射）。c)若f既是满射，又是入射，则称f是双射或称一一映射。返回第一节目录例题1例题2XYXYXYa1a1adb2b2be3cf单射：最多有满射：至少有不是单射，也不是一条弧终止于一条弧终止于满射Y的每一元素。Y的每一元素。例1：返回定义解：a)yR,取x=(y-

8、a)/(b-a),则f(x)=y,∴f是满射。b)x1,x2R,x1x2,则(b-a)x1+a(b-a)x2+a,即f(x1)f(x2),∴f是入射，∴由a），b）知：f是双射。例2：设f:RR,f(x)=(b-a)x+a,试问f是什么函数(ab)？返回定义2．有限集上单、满射关系定理1：若X和Y是有限集，且∣X∣=∣Y∣，则f为单射f为满射。证明：‘’若f为单射，则∣X∣=∣f(X)∣∵∣X∣=∣Y∣∴∣Y∣=∣f(X)∣又∵∣Y∣是有限的，∴f(X)Y,∴Y=f(X)‘’若f为满射，则f(X)=Y,∴∣X∣=∣Y∣=∣f(X)∣若x1,x2X,x1

9、x2,有f(x1)=f(x2)。∵X,Y集合有限，∣f(X)∣<∣X∣矛盾，∴f为单射。返回第一节目录3．举例G:Bρ(A),bB,G(b)={xxA∧f(x)=b}试证：若f是满射，则G是入射，其逆成立吗？证明：b1,b2B,b1b2,∵f是满射，∴G（b1）,G(b2)非空。若G（b1）=G(b2),则xG(b1)∩G(b2),即f(x)=b1,f(x)=b2,这与f是函数矛盾。∴G(b1)G(b2)，∴G是入射。其逆不是真的。返回第一节目录设f:AB