离散数学ch6[1]集合论基本概念ppt课件.ppt

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1、离散数学第二部分集合论集合代数1集合论简介集合论是以集合为研究对象的一个数学分支集合论是现代数学的基础集合是数学中最为基本的概念集合论的基本概念已渗透到数学的几乎一切领域可以说集合论已是整个现代数学的基础是自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具是数学各分支所研究的对象2集合论简介集合论的诞生德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的康托尔的不朽功绩“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”-----柯尔莫戈洛夫(前苏联数学家)数学与无穷潜无限思想和实无限思想无穷集元素的个数最终获得世界公认3集合论简介集合论在19 世纪末由德国数学

2、家 G. 康托尔创立它的发展可分为两个阶段 ：1908  年以前称为朴素集合论1908 年以后称为公理集合论集合论的两个阶段4集合论简介康托尔于 1874 年超越数集的局限  ，首先建立起一般性的集合概念  。1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。康托尔的重大成就在于对无穷集的研究，对数学的发展产生了深远的影响。朴素集合论1870年前后，康托尔关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。5集合论简介公理化集合论的建立集合论最终获得了世界公认在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术

3、化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。”6集合论简介朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。1901年罗素发现了有名的罗素悖论。1891年康托尔也发表了关于最大基数的悖论。悖论的出现使人们对集合论产生了怀疑，甚至对整个数学推理的正确性也产生了疑问。数学史上的第三次危机这就动摇了数学的基础，触发了数学史上的第三次危机。7集合论简介经过数学家们潜心研究，认识到悖论产生的原因在于康托尔原来的集合定义是不严格的。为了避免悖论，必须对集合的定义加以严格的限制。数学史上的第三次危机8集合论简介开始于1908年E.策

4、梅罗所发表的一组公理，经过A.弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。另外一种系统是冯*诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。称 NBG 公理系统。数学家们经过一番努力之后，终于放弃直接提出集合的定义 ，而选择了公理化方法 ，重新整理集合论。集合论的现代公理化9集合论简介无论哪种公理系统，都使朴素集合论得到严格处理，避免悖论，保留一切有价值的东西，使集合论进入一个更新的发展阶段。集合论的现代公理化10集合论简介本部分主要介绍朴素集合论的主要内容主要包括:（第6章）集合（第7章）二元关

5、系（第8章）函数集合论的基本概念集合代数本部分主要内容介绍（第9章）集合的基数11集合论的基本概念集合与元素集合间的关系幂集12集合与元素1、集合的概念集合是一个不可精确定义的、最基本的数学概念。凡是具有某种特殊性质的客体的聚合，都可称为集合集合可以由各种类型的事物构成例如：方程x2－1＝0的实数解集合；26个英文字母的集合；全体中国公民的集合；……13集合与元素2、集合的标记集合通常用大写的英文字母来标记，例如:N:自然数集合(在离散数学中认为0也是自然数)I:整数集合Q:有理数集合R:实数集合C:复数集合……14集合与元素3、元素

6、属于给定集合的任何客体，称为该集合的成员或元素元素：良定集合:符号表示:通常采用小写字母表示集合的元素依据某些规则，如果能明确地判定任何给定的客体是否是某个集合的成员，则称该集合为良定集合。aS:表示a属于SaS:表示a不属于S例如:15集合与元素4、基数或势集合S中不同元素的数目,可称为集合S的基数或势，通常记作#S或

7、S

8、。基数或势:有穷集合:无穷集合:基数无限的集合称为无穷集合基数有限的集合称为有穷集合1和m之间的正整数集合，包括有1和m，即{1,2...,m}0和m-1之间的非负整数集合,即{0,1,2,...,m-1}I

9、m：Nm：A={a,b},例：则A=216集合与元素5、集合的表示方法列举法:表示一个集合的方法有两种：是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。例如:有穷集合A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}无穷集合列举法和谓词表示法17集合与元素5、集合的表示方法谓词表示法:谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性例如:S由使P(x)为真的全体x构成。集合S={xP(x)}表示:A={xx=a∨x=b}A={a,b}A为偶数集合A={xy(yI∧x=2y)}I表示整数集方程x2－1＝0的实数

10、解集B＝{x

11、x∈R∧x2－1＝0}18集合与元素6、集合概念的一些问题(1)不能有矛盾性或者cS，或者cS对于给定的集合S和某个客体c,但是不能有cS，同时cS(2)相同的元素算一个元素,并且元素无次序都是同一