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1、用向量法求空间角立体几何中的向量方法一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形)空间中的角
2、cos〈a,b〉
3、
4、cos〈a,n〉
5、
6、cos〈n1,n2〉
7、[0,π][小问题·大思维]例1:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E、F分别为CD、DD1的中点,(1)
8、求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;(2)求二面角F-AE-D的余弦值。AA1C1B1DCBD1EFADCA1D1C1B1BFE例2(2)点E、F分别为CD、DD1的中点,求二面角F-AE-D的余弦值。证明:(1)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.而PA平面⊂PAD,AD⊂平面PAD且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,所以AE⊥PD.练习2、如图,在三棱锥P-
9、ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.【解题指南】建立坐标系,(1)利用来证明;(2)假设存在满足条件的点,求出两个半平面的法向量,判断两法向量是否能垂直即可.若垂直,则假设成立;若不垂直,则假设不成立.【规范解答】(1)如图以O为原点,以射线OD,OP分别为y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),A(0,-3,
10、0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).∴即AP⊥BC.(2)假设存在M,设其中λ∈[0,1),则=λ(0,-3,-4)=(0,-3λ,-4λ).=(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4)=(-4,-2-3λ,4-4λ)=(-4,5,0),=(-8,0,0)设平面BMC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面APC的法向量n2=(x2,y2,z2)由即可取由得可取n2=(5,4,-3).由n1·n2=0,得解得故AM=3.综上所述,存在点M符合题意,AM=3.aba´b´•onmaba´b´onm•mnnm四、课堂小结1.异面直线所
11、成角:2.直线与平面所成角:lDCBA3.二面角:ll