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1、对偶问题的经济解释——影子价格DualityTheory线性规划的对偶问题对偶单纯形法灵敏度分析对偶问题的基本性质第二章线性规划的对偶理论1、什么是灵敏度分析？是指研究线性规划模型的某些参数(bi,cj,aij）或限制量（xj,约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。一、含义和研究对象s.t.回答两个问题：①这些系数在什么范围内发生变化时，最优解不变？②系数变化超出上述范围，如何用最简便的方法求出新的最优解？2、灵敏度分析的研究对象：目标函数的系数cj变化对最优解的
2、影响；约束方程右端系数bi变化对最优解的影响；约束方程组系数矩阵A变化对最优解的影响；一、含义和研究对象1、在最终单纯形表的基础上进行；2、尽量减少附加的计算工作量；二、进行灵敏度分析的基本原则将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上来.检查是否仍为原问题的可行解.检查是否仍为对偶问题的可行解.4.依据不同情况决定继续计算或得到结论.三、灵敏度分析的步骤原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解非可行解非可行解可行解非可行解可行解非可行解问题的最优解或最优基不变用单纯形法继续迭代求最优解用对
3、偶单纯形法继续迭代求最优解引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算4.分析增加一个约束条件的变化四、灵敏度分析的主要内容1.分析cj的变化2.分析bi的变化3.分析增加一个变量xj的变化5.分析系数aij的变化系数矩阵As.t.对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：初始单纯形表最优单纯形表X*=B-1bCN－CBB-1N≤0－CBB-1≤0原问题基变量的最优解：Z*=CBB-1b最优值：Y*T=CBB-1Y*T=CBB-1XBI0基变量非基变量XB基变量基变量基可系数行解CN－CBB-1NB-1N
4、B-1XNXsB-1bCBB-1b－CBB-1Z*=CBB-1b分析cj的变化原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解非可行解非可行解可行解非可行解可行解非可行解问题的最优解或最优基不变用单纯形法继续迭代求最优解用对偶单纯形法继续迭代求最优解引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算最优值可能已变x1,x2≥0maxs.t.2x1+2x2≤12z=2x1+3x24x1≤165x2≤15变化x1,x2≥0maxs.t.2x1+2x2≤12z=(2+λ1)x1+(3+λ2)x24x1≤165x2≤
5、15qi分析λ1和λ2分别在什么范围变化时，最优解不变？例1-1x1,x2≥0maxs.t.2x1+2x2≤12z=2x1+3x24x1≤165x2≤15变化x1,x2≥0maxs.t.2x1+2x2≤12z=(2+λ1)x1+(3+λ2)x24x1≤165x2≤15qi当λ2=0时，将λ1反映在最终单纯形表中，可得从而，表中解仍为最优解的条件是即当时问题的最优解不变。例1-1分析λ1和λ2分别在什么范围变化时，最优解不变？x1,x2≥0maxs.t.2x1+2x2≤12z=2x1+3x24x1
6、≤165x2≤15变化x1,x2≥0maxs.t.2x1+2x2≤12z=(2+λ1)x1+(3+λ2)x24x1≤165x2≤15qi当λ1=0时，将λ2反映在最终单纯形表中，可得从而，表中解仍为最优解的条件是即当时问题的最优解不变。例1-1分析λ1和λ2分别在什么范围变化时，最优解不变？美佳公司计划生产I、II两种产品，每天生产条件如表，问(1)该公司应如何安排生产计划才能使总利润最多?(2)若产品Ⅰ的利润降至1.5百元/单位，而产品Ⅱ的利润增至2百元/单位，最优生产计划有何变化？(3)若产
7、品Ⅰ的利润不变，则产品Ⅱ的利润在什么范围内变化时，该公司的最优生产计划将不发生变化？例2-1设备A(h)设备B(h)调试工序(h)利润(百元)ⅠⅡ每天可用能力资源产品0562112115245例2-1如何安排生产计划才能使总利润最多？解：(1)设x1,x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型maxz=2x1+x2s.t.5x2≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1,x2≥0用单纯形法求解得最终单纯形表设备A(h)设备B(h)调试工序(h)利润(百元)ⅠⅡ每天可用能力资源产品0562
8、112115245例2-1如何安排生产计划才能使总利润最多？解：(1)设x1,x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型maxz=2x1+x2s.t.5x2≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1,x2≥0用单纯形法求解得最终单纯形表得最优解为：X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)Tzmax=8.5(百元)。即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且maxz=2x1+x2s.t.5x2≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1,x2≥0例2-1产品Ⅰ利润降至1
