赣豫陕2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步7.2棱柱棱锥棱台和圆柱圆锥圆台的体积学案北师大版必修2.doc

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1、7．2　棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学习目标　1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧．知识点一　柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体＝ShS—柱体底面积，h—柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体＝ShS—锥体底面积，h—锥体的高台体圆台、棱台V台体＝(S上＋S下＋)hS上、S下—台体的上、下底面面积，h—高知识点二　柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(　×　)2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　√　)类型一　多面

2、体的体积例1　如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②，求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．考点　题点　解　由主视图可知，在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在等边三角形ABC中，BC＝＝＝2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2××3＝3.反思与感悟　求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．(4)分割法：将几何体分割成

3、易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练1　一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)A.B.C.D.考点　题点　答案　D解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－AB1D1.设正方体的棱长为a，则＝×a3＝a3，故剩余几何体的体积为a3－a3＝a3，所以比值为，故选D.类型二　旋转体的体积例2　(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.考点　题点　答案　解析　由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1m，圆锥的高为1m，圆

4、柱的高为2m，因此该几何体的体积V＝2××π×12×1＋π×12×2＝(m3)．(2)体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为(　　)A．54cm3B．54πcm3C．58cm3D．58πcm3考点　题点　答案　A解析　由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27.截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26，∴小圆锥的体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54cm3，故选A.反思与感悟　要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．(1)求台体的体

5、积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．跟踪训练2　设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．考点　题点　答案　21π解析　设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴AD＝＝，∴R－r＝.BD＝A1D·tan60°＝3，∴R＋r＝3.∴R＝2，r＝，而h＝3.∴V圆台＝πh

6、(R2＋Rr＋r2)＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π.∴圆台的体积为21π.类型三　几何体体积的求法命题角度1　等体积法例3　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．考点　柱体、锥体、台体的体积题点　锥体的体积解　又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，反思与感悟　(1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理．(2)利用等体积法可求点到面的距离．跟踪训练3　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中，求A到平面A1BD的距离d.考点　题点　解　在三棱锥A1－AB

7、D中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D＝.∵××12×1＝×××××d，∴d＝.命题角度2　割补法例4　如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积．考点　题点　解　如图，连接EB，EC，AC.四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝×42×3＝16.因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.所以VF－EBC＝VC－EFB＝