数的概念的扩展[1].ppt

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1、复数的引入数的概念的扩展2011年4月15日1N一、数的概念的产生和扩展过程原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念，随着文字的产生和发展，出现了记数的符号：1、2、3、4、……，进而建立了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集.此时只有自然数，其它的数如正数、负数、分数……甚至连零都还没有出现，人们的一切活动也都用自然数表示，在计算时也只能进行加法和乘法运算。2一、数的概念的产生和扩展过程但随着生产活动的不断发展，有些活动就无法用数来表示了：如某人本来有五斗粮食，有一天他因故损坏了别人房屋须赔偿十斗粮

2、食，他现在还有几斗粮食？这一问题在当时是无法用数学解决的，因为5－10N数集（自然数集）面临着第一次扩展3一、数的概念的产生和扩展过程自然数集如何扩展呢？引进“新数”：0和正负整数，组成新数集整数集Z={0，±1，±2，……}确定数集扩展的原则：第一，要能解决实际问题或数学内部的矛盾。第二，要保留原有数集的性质，特别是它的运算性质，同时又增加一些新的运算性质。引入新概念:零和正负整数,数集N扩展了!于是：5－10＝－5Z4N一、数的概念的产生和扩展过程Z在整数集的范围内，某些生产活动可以用减法运算表示

3、了，但类似“三担粮食均分给七人，每人可得多少担粮食？”的问题仍然无法解决。因为3÷7Z同学思考:此时怎么办？5一、数的概念的产生和扩展过程数集（整数集）第二次扩展表示新数的符号：如有理数Q={0，1，2，，-------}根据数集扩展的原则，引入新数“分数”及引入新概念:分数数集Z又扩展了!6N一、数的概念的产生和扩展过程ZQ7一、数的概念的产生和扩展过程整数集的扩展和有理数集的建立，大约是在公元前五世纪左右，由当时古希腊伟大的数学家——毕达哥拉斯和其创立的非常有名的毕达哥拉斯学派最终完成。8一、数的概

4、念的产生和扩展过程当时毕达哥拉斯学派认为：“万物皆数”（指整数），数是现实的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里控制着的永恒的关系。宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比；世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。9一、数的概念的产生和扩展过程毕达哥拉斯学派学派的一项重大贡献：证明了勾股定理10一、数的概念的产生和扩展过程不久，毕达哥拉斯学派成员希伯斯发现：边长为1正方形的对角线长m既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的

5、基础，为此引起了他们的恐慌．引起了第一次数学危机。为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑。在得知希伯斯泄露其发现并逃跑时，毕达哥拉斯的忠实门徒四处缉拿希伯斯，最终在地中海的一条海船上发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海。11一、数的产生和扩展过程概念的希伯斯发现：若：x2=2则：xQ为解方程x2=2引入“2的平方根概念”，并用符号“”表示于是，x2=2x=同时把它（即）称为无理数从而引发：数集（有理数集）第三次扩展12一、数的概念的产生和扩展过程数集（有理

6、数集）第三次扩展引进“新数”：无理数及其符号表示方法如：实数R={0，1，2，------}引入新概念:无理数,数集Q进一步扩展了!13N一、数的概念的产生和扩展过程ZQR14通过上述数的概念的扩展过程，可以看到：1、数的概念扩展的动力：解决实际问题数学内部矛盾的需要2、数的概念发展了，数集也就扩展了3、因而可以说：数集是随着新数的概念的引入而扩展的，数集的扩展解决了一些运算在原数集内不能适用的矛盾一、数的概念的产生和扩展过程15探究：实数集如何进一步扩展呢？问题1:解方程x²+1＝0所以方程x²=-1的

7、解为x=i或x=-i规定：(1)i的平方等于-1，即i²=-1解决办法：引入虚数单位iR中的负数无法进行开方运算！二、实数集的进一步扩展16问题2:解方程x²=-2问题3解方程(x+1)²=-2x=，x=-x=-1+,x=-1-探究：实数集如何进一步扩展呢？规定：(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立。二、实数集的进一步扩展17与虚数单位i有关的“新数”的产生1，iR------即虚数单位i不是实数；2，i与实数b可以进行通常的乘法运算，即bi（特别地，0i=0R；b

8、0时，biR）3，bi与实数a可以进行通常的加法运算，即a+bib=0时，a+bi=aR；b0时，a+biR引入新概念:虚数单位i数集R又扩展了!18三、复数的概念(1)对于复数z=a+bi,其中i称为虚数单位(2)对于复数z=a+bi(a、bR）当b=0时，z=a是实数当b0时，z=a+bi不是实数，称为虚数定义:形如a+bi(a、bR）的数z称为复数a叫做复数z的实部，记作Rez,即a=Rezb叫做复数z的