控制工程基础第二章数学模型9.26.ppt

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1、控制工程基础(第二章）陶雪华2010年第二章控制系统的动态数学模型建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础；现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。第二章控制系统的动态数学模型一、基本环节数学模型二、非线性系统数学模型的线性化三、拉氏变换和拉氏反变换四、传递函数以及典型

2、环节的传递函数五、系统函数方框图及简化六、系统信号流图及梅森公式七、控制系统传递函数推导举例八、系统数学模型的MATLAB实现九、小结第二章控制系统的动态数学模型本章要熟悉下列内容：建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统、电路网络和电机）的数学模型及模型的线性化重要的分析工具：拉氏变换及反变换经典控制理论的数学基础：传递函数控制系统的图形表示：方块图及信号流图建立实际机电系统的传递函数及方块图系统数学模型的MATLAB实现数学模型的基本概念系统的数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系

3、。静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。对于给定的动态系统，数学模型表达不唯一。工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。建立数学模型的方法解析法实验法依据系统及元件各变量之

4、间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。数学模型的形式时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性建立数学模型的一般步骤1.分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；2.从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；3.消去中间变量，得到

5、描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；4.标准化：右端输入，左端输出，按导数降幂排列机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。一、基本环节的数学模型（一）质量-弹簧-阻尼系统图2-1进给系统装置示意图和等效力学模型Thedynamicalskidplatformofanaggregatemachinetoolmills控制系统微分方程

6、的列写机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：质量x(t)v(t)mfm(t)参考点弹簧x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)kfk(t)fk(t)对于弹簧，受力相同，变形量不同。阻尼(t)+kx(t)=Dxooif(t)弹簧－阻尼系统fi(t)k0xo(t)Dfi(t)=fD(t)+fk(t)ddt系统运动方程为一阶常系数微分方程。弹簧-阻尼系统机械平移系统fi(t)fi(t)mmfm(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响k0xo(t)0xo(t)Dfk(t)fD(t)机械平移系统及其力学模型dddtdt

7、22myo(t)+Dyo(t)+kyo(t)=fi(t)式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。机械旋转系统θi(t)0θo(t)0JkTk(t)DTD(t)粘性液体柔性轴齿轮J—旋转体转动惯量；k—扭转刚度系数；D—粘性阻尼系数电气系统电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。电阻i(t)Ru(t)u(t)=R⋅i(t)（二）电路网络系统电容∫i(t)dti(t)1Cu(t)=Cu(t)电感i(t)di(t)dtu(t)=LLu(t

8、)R-L-C无源电路网络LRCui(t