二阶行列式 (选修).ppt

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1、二阶行列式与二元一次方程组晴隆民族中学数学组谢兆一、行列式的历史简介：行列式出现于线性方程组（多元一次方程组）的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由德国数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。1750年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的

2、定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组（多元一次方程组）的克莱姆法则。总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组（多元一次方程组）之外，单独形成一门理论加以研究。在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组（多元一次方程组）求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为

3、法兰西科学院院士。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。19世纪的半个多世纪中

4、，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士·西尔维斯特(J.Sylvester,1814-1894)。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去x的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明。继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851)，他引进了

5、函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。二、二阶行列式定义：（一）定义：规定=叫做行列式的元素。其中记号叫做行列式，因为它只有两行、两列所以把它叫做二阶行列式。的展开

6、式，其计算结果叫做行列式叫做行列式的值。（二）二阶行列式的展开满足：对角线法则的对角线叫副对角线。二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示（1）（2）（3）.（三）例和练习：例1、判断以下几项中哪些是二阶行列式？是的，求出值。例2：将下列各式用行列式表示：——解唯一吗？（2）（1）三、用二阶行列式解二元一次方程组(一)设有二元一次方程组用加

7、减消元法当时，有（A）有唯一解，得用二阶行列式解二元一次方程组(一)设有二元一次方程组，——类比，对照当D≠0时，方程组(A)的解(B)可以表示成；（解的其他情形见学案）(B)求根公式。系数行列式记（解的其他情形见学案）（四）例和练习：例3用行列式解方程组(2)(1)四、小结：1行列式定义与展开式的计算;2用行列式法解二元一次方程组；（2）2.用行列式解方程组解：标准形式（1）五、作业：求下列行列式的值：