第3章级数解及K判据.ppt

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1、第三章平面裂纹级数解及K判据对无限大板双轴等值均匀拉伸I型贯穿裂纹尖端附近的应力场，其裂尖解的形式为：而只有才与外载有关，它反映了裂尖应力场整体的大小，反映了裂尖应力场的特征。问题：1.上述形式的裂尖解是否具有普遍意义？即是否各种平面裂纹尖端的应力场都具有上述形式呢？2.对于的真实裂纹，其裂尖应力场是否具有上述特征呢？要把K作为裂纹行为的一个判据，必须回答这两个问题§3-1I型裂纹问题的Willianms级数解及其意义。对第1个问题的解答称为Willianms解。考虑如下应力函数Williams的贡献是：他选的是无穷级数：其中是实数，不一定是整数，

2、要由边界条件确定。此级数在直角坐标系中求解没什么好处，但易于在极坐标中求解，故给出其极座标形式。将代入式，得利用近边界条件，就可以确定n取什么值（固有值问题）。在裂纹的上下界面，有4个边界条件：而将上式代入边界条件边界条件成为：这四个方程可展开如下：这是一个关于的线性齐次方程组，因为不能全为零。故要使方程有非零解，必须其系数行列式为零。从而有：即由解得取负值和零在三角学上是有意义的，但在力学上却无意义，所以取级数中的系数之间是有连系的，而且对不同组的n值，关系不同：当n=1,2,3,…时，当时，这样，可以把应力函数分为奇、偶两部分：Ueven和Uo

3、dd。即其中，适用于对x轴对称的问题（I型裂纹）。适用于对x轴反对称的问题（II型裂纹）。对I型裂纹，讨论，这时当时，；当时，代入表达式并化简，得将代入应力分量表达式求出，再用应力变换公式求出，最后得到讨论1.上面给出了I型问题的全解，这是一个级数解，此解满足裂纹边界条件，但远边界条件没有满足。这是一个全解，它的一般形式为：其中，…是与和无关的量。2.我们感兴趣的是裂尖解（Cracktipsolution）。当时，的诸项，j=2的项是常数，它们与急剧增大的首项（奇异项）相比，在全解中所占比例越来越小。因此对裂尖解，的诸项都可忽略，只保留j=1的项，

4、从而原式成为：而因此Williams裂尖解与Westergaard裂尖解完全相同，只是不同。3.综上所述，I型裂纹裂尖解总可以写成的形式，其中就是上述应力分量角度部分那三种固定的形式。因此，任何受力和几何条件下的平面裂纹尖端应力场的应力分布是相同的，只是应力场的强度不同而已（但整体解中非奇异项不同）。这个奇异解在整体解中的位置有二个意义：①它是整体解的首项；②只有它具有奇异性。Westergaard裂尖解只成立于处。这是一个很重要的结论，它将Westergaard解推广到任何受力和任何几何形状的平面裂纹，使人们的认识大大前进了一步。这一结论对断裂力

5、学的发展起了重要的作用。利用至于用Williams级数求，只不过是一种应用而已。由可见，只要找出第一项系数，就可以得到。我们有兴趣的是，但无法直接地找到。为了求出，Gross等人提出了边界配位法，就是将无穷级数Ueven截断为有限项，例如2m项，然后由边界上的m个点处的2m个条件（一个点提两个条件）去确定其中的2m个待定常数，这样问题就归结为求解2m元的线性代数方程组。其中的就可确定。原则上讲，m数目越大，计算结果越精确。但实际计算表明，m数过大，结果反而不好。这是因为m过大，方程组系数矩阵A中相邻两行各元的值很接近，但的值很小使结果很不稳定，甚至

6、经常溢出。一般三点弯曲试样，取30-40个配位点效果较好。边界配位法主要用于直边界计算。Williams解只能解二维问题。§3-2钝化裂纹尖端的应力场断裂力学研究数学尖裂纹（），对此问题有很多指责，因为工程中的实际裂纹端部都有一点圆角，是钝裂纹。1966年Creager在Praris指导下作的硕士论文，研究了的情况，其裂纹尖端为一个扁长椭圆形的缺口，是扁长椭圆在长轴上的曲率半径，坐标原点在曲率中心和裂纹与x轴交点连线的中点。求得的无限大板中长为2a的贯穿裂纹，受均匀拉伸应力的端部解为：适用范围：因为，所以这个缺口端部解没有奇异性。注意其适用范围是很

7、狭窄的地区。讨论1.当时，坐标原点逼近裂尖，此解就变成为尖裂纹的裂尖解，说明了此解的正确性。2.从Creager解中可见，应力分量每一项都有。因此，无论是尖裂纹和有限值的钝裂纹，决定应力场强度的仍是因子。这一点很重要，它证明了引入因子的必要性。3.当r增大时，可看到上式表示的缺口端部解也很快趋于0。因此，它的影响也只在裂纹端部很小区域。4.缺口端部解的与尖裂纹解的是相同的。这就是对第2个问题的解答。§3-3K判据任何受力和几何条件下的平面裂纹尖端应力场的应力分布是相同的，都可以写成如下形式其中：是与有关的函数。而反映裂尖附近应力场中各点的应力相对变

8、化的情况，即裂尖附近应力场分布情况。是一个与外载有关的数，反映裂纹尖端附近r很小处奇异的应力场的整体强度情况，即是裂尖附近