09奇异最优控制.ppt

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1、第九章奇异最优控制9.1奇异最优控制问题的提出9.2奇异线性二次型最优控制问题9.3奇异最优控制的算法9.4小结奇异最优控制问题是在以下情况下产生的。对于任何最优控制问题，无论是奇异的还是非奇异的，使得哈密顿函数H取极值的弧被定义为极值弧。如果此极值弧不能使控制向量表示成状态向量和协状态向量的函数，那么问题就是奇异的，下面具体分析一下奇异最优控制问题。9.1奇异最优控制问题的提出在研究时间最短和燃料最少的最优控制问题时就会涉及到奇异解问题，在时间最短最优控制问题中，应用庞特里亚金极小值原理可得(9-1)在正常情况下，函数在控制区间中只有有限个零值点。控制变量

2、在其约束的边界上取值，得到的最优控制为Bang-Bang控制。但在奇异情况下，至少有一个函数在某一区间上恒等于零。在线性二次型性能指标最优控制问题中也有类似的奇异情况。可以将性能指标中的被积函数取为。其中项的出现体现了对控制变量的约束，可以使最优控制的值在合理的范围内。如果直接规定控制变量满足如下不等式约束(9-2)这时就没有必要在性能指标中出现项了。此类问题与规范调节器的差别在于控制的不等式约束，且。哈密顿函数也是控制变量的线性函数。若在控制区上，只存在有限个零值点，则是Bang-Bang控制。如果在某一控这时就没有必要在性能指标中出现项了。此类问题与规范

3、调节器的差别在于控制的不等式约束，且。哈密顿函数也是控制变量的线性函数。若在控制区上，只存在有限个零值点，则是Bang-Bang控制。如果在某一控制区间上满足，那么，控制变量在控制边界内取值总满足极小值原理。但是，由极小值原理同样很难解出最优控制的具体形式。考虑到上述线性二次型问题的最优控制一般情况下是由Bang-Bang控制和线性反馈控制两部分组成的。所以，对于一般的Bolza问题：(9-3)其哈密顿函数为(9-4)当控制变量在约束的边界范围内取值时，极值条件应为(9-5)(9-6)条件(9-6)常称勒让德－克莱勃希条件(Legaudre-lebschCo

4、ndition)。若条件(9-6)只取严格的不等式符号，则称强化的勒让德－克莱勃希条件。如果在某一时间间隔上，矩阵是奇异的，即或者是非负定的，不满足强化的勒让德－克莱勃希条件，则称Bolza问题为奇异的。此时的最优控制为奇异最优控制。与此对应的最优轨线部分称为奇异孤，则称为奇异区间。(9-7)把奇异和线性二次型这两个概念结合在一起就得到了奇异线性二次型这个概念。一个奇异线性二次型问题的奇异性等价于性能指标中的被积函数中矩阵的奇异性。奇异线性二次型问题可以是直接提出的，也可以作为对一般的最优控制问题应用二次变分原理的结果而产生的。9.2奇异线性二次型最优控制问

5、题奇异二次型最优控制是一类常见的最优化奇异解问题，该问题可以用数学语言描述如下：考虑线性受控系统(9-8)系数矩阵，是具有适当维数的常数矩阵。控制变量受如下不等式约束(9-9)性能指标仅取为状态的二次型，即假定其中的加权阵和都是非负定对称阵。(9-10)哈密顿函数为的线性函数，即根据极小值原理可知，在正常弧段上最优控制具有Bang-Bang形式，即协态方程与边界条件为的解。(9-11)(9-12)(9-13)若存在奇异解，则在奇异弧段上有下式成立，(9-14)这时，控制满足极小值原理，但是，由极小值原理解不出最优控制的具体形式,需要用其它方法来计算奇异弧。(

6、9-15)假设在某区间上存在奇异最优控制，则式(9-14)的关系在此区间上必然存在，进而必须满足的各阶导数为零的附加条件，由此条件可以得到奇异最优控制。实际上，上述问题的奇异弧段必满足(9-16)(9-17)假设是非奇异阵，否则，奇异控制不存在。解得上式表明，若存在奇异解，则奇异解必具有式(9-18)的形式。将式(9-18)和式(9-8)、(9-13)联立求解两点边值问题，可求出最优奇异弧段及其上的奇异最优控制。(9-18)若哈密顿函数不显含，且末端时间未定，由极小值原理可知沿最优轨迹哈密顿函数值恒等于零，即式(9-14)、(9-16)和(9-19)共个标量

7、方程。它们共同决定维空间中的维超(9-19)曲面。这是因为奇异弧上的各点满足上述个方程。因此，若最优奇异弧存在，必在由上述个方程所决定的超曲面上，此超曲面称为奇异超曲面。例9-1已知二阶受控系统标量约束满足如下不等式约束(9-20)(9-21)试求系统(9-20)由已知初态转移到坐标原点。且使性能指标为极小的最优控制。(9-22)解哈密顿函数为(9-23)由极小值原理可知，正常弧段上的最优控制为Bang-Bang形式，即：(9-24)相应的最优控制轨线（Bang-Bang弧段）满足如下的规范方程：(9-25)因为曲线可能依赖于，所以可能存在奇异弧，满足(9-

8、26)(9-27)(9-28)当是给定的有限时间，为