金融工程 第09章 奇异期权

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1、第九章奇异期权期权市场是世界上最具有活力和变化的市场之一，盈利和避险的需要不断推动新工具的产生。本章我们将介绍其中一些常见的新型期权，分析其定价和保值机制。这些思路和方法将有助于我们理解市场中不断创新的期权工具。第一节奇异期权概述到目前为止，我们所涉及的主要是标准的欧式或美式期权，比这些常规期权更复杂的衍生证券常常被叫做奇异期权（ExoticOptions），比如执行价格不是一个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格的期权，或是在期权有效期内如果资产价格超过一定界限，期权就作废，等等。大多数的奇异期权都是在场外交易的，往往是金融机构根据客户的具体需求开发出来的，其灵活性和多样性是常规期权所不

2、能比拟的。但是相应地，奇异期权的定价和保值往往也更加困难，奇异期权对模型设定正确与否的依赖性常常很强，合约中潜在的风险通常比较模糊，很容易导致非预期的损失，无论是用标的资产进行保值还是用相应的期权进行保值（在后面我们将会看到，这种保值方法被称为静态保值），都需要很小心。由于奇异期权的多样性，要对它们进行完全的描述是不可能的，我们只能介绍一些常见的奇异期权，阐述相关的定价和保值技术，为读者提供一个借鉴，当遇到性质相同的问题时，可以加以利用。本节的主要内容是：对奇异期权的主要类型进行大致的区分，以帮助读者更好地理解奇异期权。这些类型包括：分拆与组合；弱路径依赖；强路径依赖；时间依赖、维数和阶数。

3、必须注意的是，因为奇异期权变化很多，本节内容并不能包括奇异期权的所有特点。一、分拆与组合最基本的奇异期权是对常规期权和其他一些金融资产的分拆和组合，从而得到我们所需要的回报。这一方法是金融工程的核心之一。分拆和组合的思想还可以用在为奇异期权定价上。通过对奇异期权到期时回报的数学整理，常常可以把期权分成常规期权、简单期权和其他金融资产的组合，从而大大简化期权定价过程。在后文中我们将看到一些具体的例子。二、弱式路径依赖所谓的路径依赖（PathDependence）性质是指期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响，它又可以分为弱式路径依赖（WeakPathDependence）和强式路径依赖（St

4、rongPathDependence）两种。如果期权价值会受到路径变量的影响，但是在期权定价的偏微分方程中并不需要比与之类似的常规欧式期权增加新的独立路径依赖变量，就属于弱式路径依赖性质的期权。美式期权（或者更一般的说，具有提早执行特征的期权）就是弱式路径依赖型的期权。当期权到期时，期权持有者是否仍持有期权要看他是否已经执行了期权，或者说要看标的资产价格遵循的路径，但是在定价模型中，我们并不需要增加独立的状态变量，因此美式期权路径依赖的特征是比较弱的。导致弱式路径依赖的第二个最常见的原因是障碍(Barrier)。当标的资产价格在事先确定的时间内触及某个预先确定的障碍水平时，障碍期权（敲入或敲

5、出期权）就可能被敲出（作废）或是敲入（开始生效）。这种期权显然是路径依赖的，但是因为我们仍然只需要解一个以资产价格和时间为变量的偏微分方程，它仍然只是弱式路径依赖的。35三、强式路径依赖与弱式路径依赖对应的强式路径依赖，在奇异期权中也相当常见。这些期权的损益除了取决于标的资产的目前价格和时间之外，还取决于资产价格路径的一些特征，也就是说我们不能将期权价格简单写作，我们还需要获得资产价格路径的更多信息。期权价值是原先的期权价格、时间和至少再多一个独立变量的函数，相应的在期权价值偏微分方程中也将增加期权价值对这些独立变量的导数。在现实生活中存在着许多这样的期权合约，亚式期权是其中的典型范例，其损

6、益要受到标的资产在一定时间内价格平均值的影响。我们将在本章中应用一些具体例子来说明如何将强式路径依赖期权纳入到一般的布莱克－舒尔斯分析框架当中去。四、时间依赖奇异期权的一种变化形式是在以上所述的所有特征中加入时间依赖（TimeDependence）的特性。比如说美式期权只能在特定的一段时间之内提前执行，如百慕大期权；敲出期权的障碍位置也可以随着时间而不同，每个月都可以设定一个比上个月更高的水平。或者我们可以想象一个敲出期权，其障碍只在每个月的最后一星期有效。这些合约都可以称作是时间上非均匀的（Time-inhomogeneous）。这些变化使得期权合约更加丰富，也更符合客户和市场的特殊需求。

7、五、维数维数（Dimensions）指的是基本的独立变量的个数。常规期权有两个独立变量和，因此是二维的。弱式路径依赖期权合约和那些除了不是路径依赖之外其他条件都与之完全相同的期权合约的维数相同，比如一个障碍期权和与之相应的常规期权都只有两个变量，都是二维的。对于这些合约来说，资产价格这个变量的作用和时间变量的作用是彼此不同的，因为在布莱克－舒尔斯方程中，包含了对资产价格的二阶偏导而只有对时间的一阶偏导。在两种