3-1,2,3向量范数.ppt

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1、第二章范数理论一、向量范数二、矩阵范数与算子范数三、范数的应用主要内容第一节向量范数主要内容：1·向量范数的定义及几种常见的向量范数2·向量范数的等价性如果函数则称为向量x的范数。满足：1）正定性且2）齐次性3）三角不等式对应一个实值函数范数的性质：对于向量空间上的任意向量,一、向量范数的定义性质（1）利用范数的齐次性即可证明。下面证明（2）。根据三角不等式，有对任意的，可以利用范数定义向量间的距离如下：实例1在向量空间Cn中,向量的长度是一种向量范数，称为2-范数或欧氏范数。证明易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也成立。下面用到了C

2、hauchy-Schwarz不等式。两边开方即得证。证明范数定义中的条件(i)显然成立，现验证条件(ii)和(iii)也成立实例2在向量空间Cn中,向量分量的最大模是一种向量范数，称为∞-范数。反例：设若令显然，它满足范数定义中的正定性，但不满足齐次性，因此它不是中的范数。定理对分别定义三个函数1－范数，2－范数(或Euclid范数)∞－范数(或最大值范数)。它们均构成范数。说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。引理3.1.1如果实数则对于任意非负实数a，b，成立如果实数成立则对于任意数组引理3

3、.1.2（不等式）p-范数或范数利用上面的两个引理可以证明：在向量空间Cn中，有下面的范数：说明：在p范数中，若取p<1时,它不是范数；1-范数，2-范数是p分别取1，2时的p范数而对于p范数与∞－范数有下面的关系定理在向量空间Cn中,向量范数满足证明当X=0时，结论显然成立。设则因为故所以说明：我们也可以通过已知的范数构造新的向量范数.例例设A是n阶正定实对称矩阵，在向量空间Rn中,定义向量函数为试证上述函数是向量范数，称为向量的加权范数或椭圆范数。所以是向量范数。证明因为A是正定对称矩阵，故存在可逆矩阵P，使得从而的连续函数。对同一个向量用不同的范

4、数度量其值一般是不等的，即在不同的范数下，两个向量之间的距离是不等的。但我们将证明它们没有实质上的区别，即范数具有下面所说的等价性定理:设是上的向量范数,则是范数等价性对于两个向量范数，如果存在常数ｍ和Ｍ则称范数等价定理向量空间中的任意两个向量范数等价。使得容易证明：向量范数的等价具有自反性、对称性和传递性.首先任一向量范数是上的一个连续函数证明定义Dn是Cn的单位球面(有界闭集)说明：我们证明上的任一范数都与2-范数等价，再利用范数等价的传递性即可。因为故它在Dn上取到最大值m和最小值M是连续函数，再利用范数等价的传递性可知：上的任意两个范数都等价。

5、向量范数的等价性表明：按不同向量范数定义的向量的收敛性具有一致性。注：对于无穷维线性空间，没有这个性质，如，对于C[0，1]上的如下两范数若取则显然有：所以，对于任意两个实数，以下不等式都不可能对所有的n都成立：第二节矩阵范数主要内容：1·矩阵范数的定义、性质2·算子范数（由向量诱导的矩阵范数）3·几种常用的矩阵范数定义满足：（1）正定性且设定义一个实值函数（2）齐次性（3）三角不等式则称为A的相容矩阵范数。(4)相容性矩阵范数的性质：对于两个矩阵范数，如果存在常数ｍ和Ｍ则称范数等价使得矩阵范数同向量范数具有类似的性质，比如等价性：在上常用的矩阵范数

6、有：为Frobenius范数或简称F－范数称范数定理1矩阵Frobenius范数是酉不变的。成立即设则对任意酉矩阵定理2设是上的相容矩阵范数，则在上存在与相容的向量范数证明：任取一非零向量定义向量X的范数为即矩阵范数与向量范数相容容易验证是上的向量范数，并且对于的矩阵范数与上的同类向量范数，如果有则称矩阵范数与向量范数是相容的。算子范数即由向量范数构造矩阵范数和分别是定义设和上的同种类型的向量范数，定义上的非负实值函数为了书写简明，均不注明范数属于哪个空间，由范数中的矩阵(或向量)加以区别）则是矩阵A的范数并且与相容。首先由定义可知即再证明定义的第二个

7、等号成立。记再证明(D1)式中的最大值可以达到。由是Cn的连续函数，Dn是Cn中的有界闭集，知在Dn上取到最大值。则正定性:成为矩阵范数最后证明满足对于矩阵存在齐次性:三角不等式和相容性：设则存在使于是由我们称由(D1)式所定义矩阵范数为由向量范数诱导的矩阵范数，也称矩阵的算子范数。对从而说明：由向量导出的矩阵范数是相容范数存在向量满足根据常用的向量1-范数，2-范数及-范数得到相应的矩阵算子范数列和范数谱范数行和范数谱范数使用起来不方便，但它却有一些特殊的性质，在理论推导中非常重要。定理3设则对于矩阵谱范数有下面的性质：（2）2-范数是酉不变的（3）

8、若矩阵A是正规矩阵，是A的特征值，则例：设计算因为