07无穷小的比较.ppt

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1、§1.7无穷小的比较观察与比较观察两个无穷小比值的极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度在x0的过程中x2比3x趋于零的速度快些反过来3x比x2趋于零的速度慢些而sinx与x趋于零的速度相仿上页下页铃结束返回首页无穷小的阶设a及b为同一个自变量的变化过程中的无穷小下页阶的比较举例所以当x0时3x2是比x高阶的无穷小即3x2=o(x)(x0)所以当x3时x2-9与x-3是同阶无穷小例2例3例1下页所以当x0时1-cosx是关于x的二阶无穷小所以当x0时sinx与x是等价无穷小即sinx~x(x0)例4例5

2、下页阶的比较举例定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)下页关于等价无穷小的定理必要性:证明所以b–a=o(a)因为设a~b只需证b–a=o(a)充分性:设b=a+o(a)则因此a~b定理说明：a+o(a)~a无穷小等价于低次项。所以当x0时有下页定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)关于等价无穷小的定理所以当x0时有sinx=x+o(x)例6下页定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)关于等价无穷小的定理～=意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．下页定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)

3、关于等价无穷小的定理定理2证明求两个无穷小比值的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计算简化注意等价无穷小代换法只用于乘除法。定理2的意义:下页定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)关于等价无穷小的定理定理2解当x0时tan2x~2xsin5x~5x所以解当x0时sinx~x无穷小x3+3x与它本身显然是等价的所以例7例8结束解当x0时结束例7所以例8解解错当x0时，常见的等价无穷小2.等价无穷小替换定理求极限的又一种方法,注意适用条件.