固体物理 第4章 能带理论2.ppt

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1、§4-2一维周期场中电子运动的近自由电子近似法一、模型和微扰计算下图是一维周期场的示意图。近自由电子近似是指假定周期场的起伏比较小，用势场的平均值代替作为零级近似，而将看作微扰项。零级近似的波动方程为：其解为自由粒子的解：L=Na为归一化因子，引入周期性边界条件后：取整数根据定态微扰理论，本征值的一级和二级修正及本征函数的一级修正为：能量非简并：（1）（2）=令，则，于是有若若最后得：（3）因此近似波函数及本征值为：能量简并：前面讨论时要求，但当时，零级近似能量相等即能量简并时，会造成分母为零的发散情况。一般情况下，平面波受到各原子所产生的散射波的位相之间没有什么关系，彼此互相抵消，周期场

2、对前进的平面波影响不大，散射波中各成分的振幅较小，这正是微扰法适用的情况。但是如果相邻原子所产生的散射波成分有相同的位相，它们将相干加强，造成一级修正项太大，使得微扰法不再适用，即对存在简并态时需要另行处理。假定态和态接近布拉格反射条件即：为一大于零的小量，将零级波函数表示为：代入定态薛定谔方程并经过适当的简单处理可以得到：其中利用到：该关于A，B的齐次方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式等于零，即；得到：（1），即讨论离简并态较远时，态存在较大能量差别的情形。将上式按展开取一级近似得：该结果和非简并微扰相似，只是存在相互影响。相互影响的结果是能量较高的态能量进一步升高，能量较低的态能量

3、进一步下降。（2），即讨论离简并态较近时，态存在较小能量差别的情形。按展开取一级近似得到；这里代表自由电子在状态的动能。下图给从了微扰后的能量和零级能量的比较。二、能带和带隙在零级近似中，电子被看成自由粒子，能量本征值作为k的函数具有抛物线的形式（存在k=0的对称轴）。周期起伏势场的微扰，使k状态只与的状态相互作用。在近自由电子近似模型中，若k的状态不在附近，则根据选择定则，就不存在附近的相互作用的态，这样的满足选择定则的态之间零级能量相差较大，同非简并的情形。当k在附近取值，则在附近取值，两态能量相近或者相等，微扰计算只要讨论这两态的影响，其他态的影响和此项相比是小量，可以忽略不计。由此

4、可以得到下图，即在处存在能量等于的跃变，其余部分类似于自由电子的能量的抛物线形状。能量较高的能带较宽，较低的能带较窄；跃变处的能量间隔随着n的增加而增加。由于周期性边界条件使得k只能取为整数。每一个对应一个量子态，当N足够大时，k的取值非常密集，相应地能级也十分密集成为准连续的。这些准连续的能级以间断点划分成一系列带，如上图。因，每个态占据的“空间”为，即单位“空间”的态密度为，而每个态的“空间”为。因此每个带包含的态数为N，等于原来晶格中元胞的数目。如果计入自旋则为2N。自由粒子波矢和简约波矢的关系：平移倒格矢，在简约波矢等于0和处出现带隙。