工程弹塑性力学-第四章 弹性理论的解题方法.ppt

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1、第四章弹性理论的解题方法胡庆贤江苏科技大学先进焊接技术省级重点实验室2010.11弹性力学问题的建立和分类位移解题法应力解题法按位移解题（半逆解法）主要内容一、弹性力学问题的建立和分类掌握：（1）弹性力学基本方程（2）什么是弹性力学问题及其分类弹性力学基本方程：（1）平衡方程（2）平衡方程(3)变形协调方程（相容方程）一、弹性力学问题的建立和分类（4）物理方程（本构方程）各向异性材料：各向同性材料：或者一、弹性力学问题的建立和分类弹性力学问题：给定已知条件，求解同时满足平衡方程几何方程和物理方程的解，即求解物体的位移、应力和应变。已知体积力及弹性表面上的外力，求

2、解弹性体的位移、应变和应力，此时边界条件：一、弹性力学问题的建立和分类已知体积力及弹性表面上各点的位移，求解弹性体的位移、应变和应力，此时边界条件：已知弹性表面上部分点的位移和部分点的力，求解弹性体的位移、应变和应力。弹性力学的解法在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的解题方法，即：1．位移法：用位移作为基本未知量，来求解边值问题的方法，称为位移法。2．应力法：用应力作为基本未知量来问题，叫应力法。3．混合法：对第三类边值问题则宜以各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量混合求解。这种方法叫混合法。上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。尽管这些方法的

3、建立在理论上有着重大意义，但在实际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解题方法中经常采用如下方法：（1）逆解法：设位移或应力的函数式是已知的，然后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变和位移，并且要求满足边界条件。（2）半逆解法：也称凑合解法。所谓半逆解法就是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分应力或位移为已知，然后在基本方程和边界条件中，求解另一部分，这样便得到了全部未知量。要点：以位移为基本未知量，将各个方程中的应力、应变一概用位移表示。先求位移，再求应力和应变。二、位移解题法二、位移解题法将几何方程代入

4、物理方程，消去应变，再代入平衡方程，得满足其三方程的公式——拉梅方程：二、位移解题法边界条件：求出位移后，怎样求应力和应变？求出位移后，利用几何方程求应变，在利用本构方程求应力二、应力解题法要点：以应力为基本未知量，将各个方程中的位移、应变一概用应力表示。以应力方程和变形协调方程为求解对象.二、应力解题法密歇尔方程（体积力不为常量）：拜氏方程（不计体积力或体积力为常数）：满足上述方程和边界条件的便是弹性问题的解。可以看出，满足平衡方程的线性函数，只要满足边界条件，便是弹性问题的解。4.4常体积力下应力和位移的特点考虑用位移表示的平衡方程式（4-9）拉梅方程，在不

5、考虑惯性力项时有：（a）对式（a）求导一次，有：即体应变满足拉普拉斯方程，为调和函数。4.4常体积力下应力和位移的特点根据体应变关系式所以，也是调和函数。即位移分量为双调和函数。对式进行拉氏运算，有4.4常体积力下应力和位移的特点考虑拜氏方程进行拉普拉斯运算，得：应力分量为双调和函数。因此，求常体积力下弹性体的应力分量就变成求满足双调和方程的边值问题线弹性力学的几个原理（1）叠加原理设线弹性体体积为V，表面为S，如果两组外力（体力和面力）同时作用在物体上所产生的效果（应力、应变和位移）等于它们分别作用所产生的效果之和。由于线弹性力学的求解方程（15个）均为线性微

6、分（代数）方程，很容易证明这个原理成立。对于非线性问题，此原理不能。线弹性力学的几个原理（2）解的唯一性定理线弹性体在给定体力、面力和约束条件下而处于平衡状态，变形体内各点的应力、应变及位移的解是唯一的——解的唯一性定理。唯一性定理的好处是无论用什么方法求解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。线弹性力学的几个原理（3）圣维南原理——局部效应原理从前面弹性力学基本解法的讨论，可知弹性力学的定解方程要求边界条件处处给出（清楚），待求函数在边界上也须处处满足，但在实际问题中经常碰到情况：（1）物体局部上的面力分布不清楚，仅知局部面力的合力和合力矩；

7、PPMM线弹性力学的几个原理（3）圣维南原理——局部效应原理(2)解题时往往难于满足逐点给定的精确边界条件：如固定端u1=u=0、u2=v=0无法满足。所以希望能找到一种边界条件的合理简化方案。PPMM圣维南原理：在两组静力等效力系作用下，在距载荷作用区域较远处，其应力分布相同。圣维南原理的应用(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：AB主要边界P次要边界三、按位移解题（凑合法）总体思路：逆解法：

8、先设定一组应力或位移，使