电磁场与电磁波第三章 静态电磁场.ppt

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1、第三章静态电磁场静电场、稳恒电场和稳恒磁场都不随时间变化，统称为静态场。静态情况下，有麦克斯韦方程简化为可见，电场与磁场是相互独立的，故可分别讨论。本章从麦克斯韦方程出发，分别介绍关于静电场、稳恒电场和稳恒磁场的处理方法。3.1静电场的电位3.1.1静电场的电位静电场的场方程为由于静电场无旋，故可将其写为这里标量函数称为电位或电势。根据梯度的性质，可知E垂直于等位面，并指向电位降落的方向。设L为连接a、b两点的任意路径，则有可见，静电场中任意两点之间的电位差可由沿连接这两点的任意路径的积分得到。处于静电平衡状态的导体，其内部电场E=0。由E=-知，静电平衡的导体中=0，故导体是等

2、位体。以上定义的是电位的梯度和电位差。只有规定了电位的零点，电场中每一点的电位才具有确定的值。电位的零点可以任意选取，因为电位加上一个任意常数并不影响其梯度或电位差的值。3.1.2电荷体系引起的电位为方便，对无界空间中电荷分布在有限区域的情形，通常取无穷远处为电位零点。这样，电荷体系在空间任一场点P引起的电位即为例：无限大真空中某点r′处有一点电荷q，其在场点r处引起的电场为于是得电位分布：其中R=r-r′。根据场的叠加原理，分布在体积V中的电荷在场点r处引起的电位为曲面S上的面电荷分布引起的电位为注意，以上电位计算公式都是以无限远为零点，而电荷则分布在有限区域中。若电荷分布涉及无限远，则

3、按上述公式计算将会导致积分发散。这种情形下，可取任一有限远点为电位零点。【例1】如图所示，半径为a、面电荷密度为S的均匀带电圆盘位于xy平面上。求圆盘轴线上的电位。解：由图可知，，r′处的面元为代入得【例2】求偶极矩为p=ezql的电偶极子引起的电场分布。解：电偶极子由两个相距很近（l<

4、平面产生的电场为在z>0区间，该结果不确定。现改取任意点z0为电位零点，就可得到确定的电位值：【例4】求真空中无限长均匀带电直线周围的电位分布，设带电线的线电荷密度为l。解：以带电直线为轴线建立圆柱坐标系。取距离轴线有限远=0处为电位的零点。该带电直线引起的电场为于是距带电线为处的电位为3.1.3电位满足的微分方程仅考虑各向同性介质。将E=-代入D=E，两边取散度，再利用·D=，可得整理得此即各向同性介质中电位满足的方程。对均匀介质，=0，上式成为若所论区域中处处=0，则在该区域中，满足拉普拉斯方程：由上可见，的微分方程包含了静电场的基本方程和本构关系：因此，对静

5、电场而言，电位的微分方程与场方程等价。在无界空间中，方程的解为证：将此积分式代入上面方程，有利用得因为故积分域可缩小为以点r为中心的小球体V′。当半径足够小时，积分成为再利用即证得3.1.4电位满足的边界条件的微分方程只适用于连续介质内部。在两种介质的交界面两侧，应满足由电场的边界条件所规定的相应边界条件。1．关于的边界条件如图，对1、2两点，这里已取，。因E的大小有限，故上式给出。由此知，在界面两侧紧靠界面处，有可见电位在界面处连续。上式与边界条件E1t=E2t等价。这是因为，E1t=E2t产生于和“E的大小有限”这两个条件，前者在定义电位时已经用到，在导出1=2时又用到了后一

6、条件。故1=2与E1t=E2t反映的是相同的物理内容。2．关于的法向导数的边界条件将D=E=-代入en·(D1-D2)=S，可得此即电位的法向导数应满足的边界条件。处于静电平衡状态的导体是等位体，电荷只分布在导体表面上，故电位在导体表面上满足的边界条件应为3.2静电场的能量3.2.1静电场能量与电荷和电位的关系静电场可以用电位来描述，所以其能量也可以用电位来计算。利用E=-及·D=S，可得整个空间V中的静电场能量：利用·D=S和散度定理，上式写为这里S面位于无穷远处。对于电荷分布在有限区域的情形，在S面上，～1/R，D～1/R2，S～R2，故有由此即得对于面电

7、荷分布，上式应改为对若干导体构成的带电体系而言，注意到电荷只分布在表面上，且导体表面是等位面，则可由上式得到体系的静电能：若保持各i和qi不变，令各导体的体积趋向于无限小，则各导体成为点电荷，上式就成为点电荷系的静电能公式。【例1】导出电容器的储能公式。解：设电容器两极板的电位分别为+和-，带电量分别为q+和q-，则有此即电容器的储能公式。利用C=q/U，上式又可写为【例2】设导体球半径为R，带电量为q，球外为介电