高数第5章1.ppt

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1、第一节定积分的概念两个实例定积分的定义定积分的几何意义定积分的性质1b实例1曲边梯形的面积一两个实例曲边梯形由连续曲线轴与两条直线所围成.abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）xyo2观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放3曲边梯形观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．5观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．6观察下列演示过程，注意当分割加

2、细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．7观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．8观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．9观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．10观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．12观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．13观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．14观察下

3、列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．15观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．16观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．17观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．18曲边梯形如图所示，相应地将曲边梯形分成个小曲边梯形,19曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为实例2变速直线运动的路程设某物体作直线运动，且这段时间内所经过的路程.求物体在是时间间上的一个连续函数,隔已知速度20思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，

4、求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值21二、定积分的定义定义设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为在各小区间上任取一点作乘积并作和记如果不论对无论22怎样的分法，也不论在小区间上点取法，怎样的只要当时，和式有确定的极限称这个极限为函数我们在区间上的定积分,记为被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和23注意：即定理1定理224例1利用定义计算定积分解25证明利用对数的性质

5、得极限运算与指数运算换序得26故27曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值三定积分的几何意义几何意义：28规定说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且如果不作说明的话就不考虑积分上下限的大小．四定积分的性质性质1证29证此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况性质230性质3证由于在上可积,因此无论怎样分割积分和的极限都存在,特别取作为一个分点,则令则有31推论对任意的都有对区间的可加性性质4性质5则证32推论1如果在区间上则推论2解令33证此性质可用于估计积分值的大致范围.性质6估值定理在区间上的最大值及最小值，则34解35解36如果函数在闭

6、区间上连续，性质7（定积分中值定理）则在积分区间上至少存在一个点使得证由闭区间上连续函数的介值定理知,由于在区间连续,所以函数在取到最大值最小值在区间少存在一个点上至使得37即积分中值公式的几何解释38解由积分中值定理知有使394041