[理学]高数第12章

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1、第十二章常微分方程12.1一般概念12.2一阶微分方程12.3高阶微分方程的降阶法12.4线性微分方程解的结构12.5常系数线性微分方程12.6微分方程冥级数解法举例12.7常系数线性微分方程组12.1一般概念12.1.1引列例1求曲线方程，其上各点的切线斜率等于该点横坐标的两倍，且该曲线通过点(2,5)。解：设所求曲线的方程是y=y(x),根据所给条件，它应满足运用不定积分的方法，容易得到满足式(1)的函数为这里C是任意常数，式(3)表示其上各点的切线斜率等于该点横坐标的两倍的曲线族，但问题所要求的是通过点(2,5)的那条曲线，为此把条件式(2)代入式(3)，即得C=

2、1，故所求曲线的方程为式(3)可以看作由式(4)所表示的曲线沿y轴平转后得到的一族曲线例2质量为m的物体以初速度v0自高H处下落，求物体下落的距离s与时间t函数关系，并求物体落到地面所需的时间（设物体下落时不计空气的阻力）。解选取坐标系如图所示。s轴的正向取作速度和加速度的正方向，原点O为物体的初始位置。设经过t(s)后物体下落的距离为s=s(t)(对应于图中的OM)。根据牛顿第二定律（F=ma）以及二阶导数的力学意义，得到物体下落的距离s=s（t）所满足的关系式为即这里g是重力加速度。并且有式(5)两边对t积分得式(9)表示满足关系式(5)的s(t)的一般形式。为了确

3、定出所需的函数关系s=s(t)，我们利用条件(6)和(7)，从式(8)和式(9)中求出由此求得物体经t(s)后下落的距离为再积分一次得若令s=H,即得物体落到地面所需的时间为例3如图所示，一个电阻R，电感为L的线圈与电容C串联而成的电路（其中R、L、C均为常数）。交变电源的电动势为Esinpt,将开关K闭合后，试建立电容器上电量Q与时间t的关系，电流i与时间t的关系。解根据回路电压的克希霍夫定律知，回路电压降的代数和等于接入回路的电动势，即其中uR、uC、uL分别为电流i在R、C、L的电压降。由于则有将代入式(11)得式(11)两边对t求导得式(12)是含有自变量t、未

4、知函数Q（t）及其一、二阶导数的方程；式(13)是含有自变量t、未知函数i(t)及其一、二阶导数的方程。12.1.2基本概念定义1凡含有自变量、未知函数及其导数或微分的方程称为微分方程，或简称方程。在微分方程中，如果未知函数只是一个自变量的函数，则称它为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，则称它为偏微分方程。例如，方程(1)、(5)、(12)、(13)都是常微分方程，xydx－ysinxdy=0也是常微分方程。而则都是偏微分方程。（常）微分方程的一般形式为定义2微分方程中出现导数的最高的阶数称为微分方程的阶。定义3如果方程中出现的未知函数及其各阶导数都

5、是一次的，则称它为线性微分方程。由此定义可知，方程(1)、(5)、(12)、与(13)都是线性方程，不是线性微分方程称为非线性微分方程。n阶线性微分方程的一般形式为定义4如果将某一函数代入微分方程能使它成为恒等式，则称这个函数为微分方程的解。例如式(3)和式(4)都是方程(1)的解；式(9)和式(10)都是方程(5)的解。又如，y=e2x是方程的一个解，因为代人方程得恒等式再如，x2+y2=C2是方程的一个解，因为对x2+y2=C2两边求导，如果微分方程中含有任意常数的个数与方程的阶数相等，则称这种解为微分方程的通解或一般解。从通解中给出任意常数的特定值而得到的解，称为

6、微分方程的特解。例如式(3)是方程(1)的通解，式(9)是方程(5)的通解；而式(4)是方程(1)的一个特解。式(10)是方程(5)的一个特解。在式(3)y=x2+C中要确定常数C，加了一个附加条件：曲线通过点(2,5)，用式子x=2,y=5表示，求出C:C=1在通解中用来确定的条件称为微分方程的初始条件。上述初始条件x=2，y=5，也可记作y

7、x=2=5，或y(2)=5.对于n阶方程(11)，其初始条件的一般形式为其中都是已知常数。不包含在微分方程通解之内的解称为奇解。例如，是微分方程的通解，而y=0也是上述方程的解，但y=0却不包含在通解中，故y=0是方程的奇解。由

8、通解的定义可知，一阶方程的通解的一般形式为y=y(x,C)或二阶方程的通解的一般形式为或一般地，n阶方程（14）的通解的一般形式为或前者称为显式解，后者称为隐式解。应当指出，通解中的任意常数必须是实质的（即独立的），意思是指，当一个表达式含有n个任意常数时，若通过对该表达式的重新整理，不能由较少数目的任意常数来替换，则认为这n个任意常数是实质的。例如ax+by+c=0经改写后得y=c1x+c2,因此实质上只有两个任意常数。可化为所以也只有两个任意常数。12.2一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为以后主要讨论能够解出导数的方程：也可改写为微