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1、经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数这样一个基本概念,以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但并不能作为量子力学中的力学量。于是,又引入了一个重要的基本概念—算符,用它表示量子力学中的力学量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿始终。第三章力学量用算符表达代表对波函数进行某种运算或变换的符号Ôu=v表示Ô把函数u变成v,Ô就是这种变换的算符。1)du/dx=v,d/dx就是算符,其作用是对函数u微商
2、,故称为微商算符。2)xu=v,x也是算符。它对u作用是使u变成v。由于算符只是一种运算符号,所以它单独存在是没有意义的,仅当它作用于波函数上,对波函数做相应的运算才有意义,例如:算符定义§3.1算符的运算规则设波函数,求解:例题1(1)线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2其中c1,c2是任意复常数,ψ1,ψ1是任意两个波函数。满足如下运算规律的算符Ô称为线性算符(2)算符相等若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同,即Ôψ=Ûψ,则算符Ô和算符Û相等记为Ô=Û。例如:开方算符、取复共轭就
3、不是线性算符。注意:描写可观测量的力学量算符都是线性算符,这是态叠加原理的反映。例题2指出下列算符哪个是线性的,说明其理由。①;②;③解:①是线性算符②不是线性算符③是线性算符(3)算符之和若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ有:(Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=Êψ则Ô+Û=Ê称为算符之和。显然,算符求和满足交换率和结合率。例如:体系Hamilton算符注意,算符运算没有相减,因为减可用加来代替。Ô-Û=Ô+(-Û)。很易证明线性算符之和仍为线性算符。(4)算符之积若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ则ÔÛ=Ê其中ψ是任意波函数。一
4、般来说算符之积不满足交换律,即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。(5)对易关系若ÔÛ≠ÛÔ,则称Ô与Û不对易。显然二者结果不相等,所以:对易关系量子力学中最基本的对易关系。若算符满足ÔÛ=-ÛÔ,则称Ô和Û反对易。写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量对易,各动量之间相互对易。注意:当Ô与Û对易,Û与Ê对易,不能推知Ô与Ê对易与否。例如:(6)对易括号为了表述简洁,运算便利和研究量子力学与经典力学的关系,人们定义了对易括号:[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔ这样一来,坐标和动量的对易关系可改写成如下形式:不难证明对易括
5、号满足如下对易关系:1)[Ô,Û]=-[Û,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。例题3(1)(2)角动量算符的对易关系证:(7)逆算符1.定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1为:Ô-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.2.性质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1
6、(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1例如:设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:(9)复共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭.例如:坐标表象中(8)算符函数利用波函数标准条件:当
7、x
8、→∞时ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函数,所以同理可证:(10)转置算符(11)厄密共轭算符由此可得::转置算符的定义厄密共轭算符亦可写成:算符Ô之厄
9、密共轭算符Ô+定义:可以证明:(ÔÂ)+=Â+Ô+(ÔÂÛ...)+=...Û+Â+Ô+(12)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.2.性质性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+Û)+=(Ô+Û)性质II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为(ÔÛ)+=Û+Ô+=ÛÔ≠ÔÛ仅当[Ô,Û]=0成立时,(ÔÛ)+=ÔÛ才成立。厄密共厄算符是该算符自身的一类算符称为厄密算符。指出下列算符哪个是厄米算符,说明其理由。例题4例题5证明是厄米算符。所以是厄米算符,同理都是
10、厄米算符证明:如果算符和都是厄米的,那么也是厄米的+()证:∴也是厄米的。+()例题6问下列算符是否是厄米算符:例题7①②解:①因为∴不是厄米算符。②∴是厄米算符。定理I:体系任何状态ψ下,其厄密算符的平均值必为实数。证:逆定理:在任何状态下,平均值均为实数的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有:证:取ψ=ψ1+c