浅谈致密性定理的不同证明方法.pdf

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1、中国校外教育下旬刊教学方法浅谈致密性定理的不同证明方法◆胡永生在《数学分析》课程的极限续论部分,提出了关于实数的七个基本定理。这些定理虽然出发的角度不同,但描写的都是实数连续性这同一件事,它们之间是相互等价的,即任取其中两个定理,它们可以相互证明。对同一个定理的证明,虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分,但最后却都能殊途同归。本文就以致密性定理为例,论述如何从不同角度对其进行证明,并总结在证明过程中的几点发现。实数基本定理确界定理单调有界定理区间套定理有限覆盖定理致密性定理柯西收敛定理一、分析的严格化———定理的出现先证vx0[a,b],Pδ>0,(x0-δ,x0+δ)中必含有x

2、n的无限项。十七世纪,微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独如果不然,Px∈[a,b],vδx>0,使(x-δx,x+δx)只含{xn}的有限项。立发现,推动了科学技术的发展。一方面,微积分在应用中大获成功;一方记E={(x-δx,x+δx)

3、x∈[a,b],δx由上产生},是[a,b]的一个覆盖。面其自身却存在着逻辑矛盾。至十九世纪,由十七、十八世纪积累下来的由有限覆盖定理,知vE中有限个开区间(x1-δ1,x1+δ1)(x2-δ2,x2矛盾到了非解决不可的程度。于是,在众多数学名家的努力下,提出了七+δ2)⋯⋯(xn-δn,xn+δn),Θ{xi-δi,xi+δi}均

4、只含{xn}的有限项,这与个实数基本定理!Pn,有a≤xn≤b矛盾。定理表述如下:(1)实数基本定理:对R的每一个分划A

5、B,都v唯一∴结论成立。的实数r,使它大于或等于下类A中的每一个实数,小于或等于上类B中的111特别地,取δk=,则vxnk∈(x0-,x0+),而且nk>nk-1,则每一个实数。(2)确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必kkk有上(下)确界存在。(3)单调有界原理:若数列{xn}单调上升有上界,则{xnk}为{xn}的子列且收敛于x0。证毕!{xn}必有极限。(4)区间套定理:设{[an,bn]}是一个区间套,则必存在唯4.用柯西收敛定理证明致密性

6、定理∞证明:设数集A非空有上界,b1是A的上界,a1不是A的上界,则a1<一的实数r,使得r包含在所有的区间里,即r∈I[an,bn]。(5)有限覆盖n=1a+ba+b1111定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。(6)致密性b1,用a1,b1的中点2二等分[a1,b1],如果2是A的上界,则取[a2,(魏尔斯特拉斯)定理:有界数列必有收敛子数列。(7)柯西收敛定理:在实a1+b1a1+b1a1+b1数系中,数列{xn}有极限存在的充分必要条件是:PŠ>0,vN,当n>N,mb2]=[a1,2];如果2不是A的上界,则取[a2,b2]=[2,b1];>N时,有

7、

8、xn-xm

9、<Š。a2+b2用a2,b2的中点二等分[a2,b2]⋯⋯如此继续下去,得数列{an},{bn}二、致密性定理的不同证明方法21n→∞.用确界定理证明致密性定理满足Pn,an不是A的上界,bn是A的上界且lim(bn-an)=0。证明:设数列{xn}是有界数列。定义数集A={x

10、{xn}中大于x的点有下证{a}是柯西列。Θlim(b-a)=0,即PŠ>0,vN,当n>N,有nnnn→∞无穷多个}

11、bn-an

12、<Š。Θ{xn}有界∴A有上界且非空。由确界定理可得vr,使r=supA。+又an≤an+1≤bn+1≤bn,从而Pp∈Z,

13、an+p-an

14、≤(bn-an)<Š,故

15、则PŠ>0,有r-Š不是A的上界。∴(xn)中大于r-Š的项有无穷{an}是柯西列,从而收敛,设liman=r。多个。n→∞Θr+Š是A的上界∴(xn)中大于r+Š的项只有有限个。现在证r=supA。Pn,an不是A的上界,∴Pa∈A,使an0,Pn,vn>N,使xn=r,则PŠ>0,vN,当n>N,有r-Š0,vN,当n>N,∈(r-Š,r+Š)有r-Š

16、xn1-r

17、<1最后证r是唯一的。即v唯一的r,使P

18、n,an≤r≤bn。如果不然,若有∞∞取Š=1,vn>n,有

19、x-r

20、<1,⋯⋯,r,r′满足r∈I[an,bn],r′I[an,bn],则

21、r-r′

22、≤(bn-an)→(n→∞),故r21n1n=1n=122=r′。即这样的r是唯一的。证毕!11取Š=,vnk>nk-1,有

23、xnk-r

24、<,由此得到{xn}的子数列三、证明中的几点发现kk1.即使用同一个基本定理证明同一个定理,也可能有不同的方法。以{xnk},当k→∞时,xnk-r→0下分别用两种方法完