紧致性定理的纯语义证明.pdf

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1、南京大学学报第卷第期,NO.4et二1989年月o一人紧致性定理的纯语义证明ó气吕义,忠(数学系)摘要紧致性是一阶模型论的重要性质之一,本文给出紧致性定理的一个比较完整的纯语义证明.,:关键词模型论紧致性定理0引言众所周知,紧致性和模型可数性是近几年来数理逻辑抽象模刑沦领域中城引人注n的两个突出的性质.iLndst角m证明了这样的事实:任何保—持上述两大性质的最以的理沦是.,〔’〕根据这个结论一阶逻辑的模型论紧致性定理应该可以在一阶逻辑的模型沦中用纯语义的方法加以证明.Mialtz给出了一个纯语义的证明

2、(见〔2〕),而其它书的证明大多需借,、、.,助于完备性定理它是语法性的(如〔3〕〔4〕〔5〕等)但是在〔2〕的证明中我们发.,.卜现引理72引理76和主要定理的证明均需要作些修改.本文便在〔力的基础上经过承新整理给出一个比较完善的紧致性定理的纯语义证明.1定义,可参看,我们假定读者熟悉模型论的一些丛木概念和常用的符号(例如〔2))而本文所需要的一些特殊概念和记号均列在以下定义中.,,,,1。u:。:定义设又和分别表示任意的句子句子集合和结构则又分别表示。,,、,:u又中出现的一切非逻软符号(即常元符号

3、函数符号和关系符号)的尖合而则表示被u解释的一切非逻辑符号的集合.本文承认所有这些尖合都是可良序的.,、。:。:。,例如设群论的公理和分别为xyz、*y*z=x*y*z777(()())甲x(x*e=x)乍甲x日y(x*y二e)u二,,,,,,C又设群结构其中I为全体整数的集合十和o分别为形式符号和u,:。,*,:。2=:。3:。卜。2,。3:u=e,*.===拟在中的解释则{}{}{}jù,定义2如一子集皆有模型,则说又是有穷可满足的.果句子集合又的征个有穷,3如果:。`:。。,。定义对任何

4、满足又的句子均有或者呀芝或者呀又则说又是简单完备的..收稿口期:1987刃6一03南京大学学报(自然科学)第25卷,如果,(v)表示含有自由变元v的任一公式则表示在该公式中用常定义4代丫).V。代替变元v的一切自由出现的结果又如果有公式,,v()和常元。使得`又元2式丫)v.则说公式曰中v()在又中有证据且常元C为它在又中的一个证据引理,引理I如果句子集合艺有穷可满足且,为,型的句子则艺U{时和艺U{,时中艺至少有一个为有穷可满足.,,,2证明假设艺U{好和艺U{一时都不有穷可满足则存在艺的有穷子集艺和

5、艺IZ·,I2,和“使得艺U{a)艺U{~}都没有模型但是艺U艺为艺的有穷子集故按假设条,:“·“·,“``件艺U艺有模型不失一般性可假设””(否则适当扩充即足)因为卜,,·和“,“有且仅有其一成立故艺,“Z>矛盾卜U{}和艺U{好必有其一有模型,引理2如果句子集合艺有穷可满足则存在句子集合r二艺使得,(1),=:rX,(2)r是简单完备的(3)r是有穷可满足的.,证明设△=。::。三T且。为句子}则可定义△的良序<如下:若。1{艺,,,,,,。”一,一:aZ一5.…S,。:。2al<,2卜砷脚y铆一且

6、“则“(n,,一m。。,·A钊(ji{n:vk护S,

7、有证据艺,(2)Q有穷可满足。+。.(3)c=c艺。。证明设对任何艺均有.。一,若。。一阿_、`约·`1{一口.飞匀男幼第4期吕义忠:紧致性定理的纯语义证明,,.`:。。,、.其中c扒艺且互不相同又设。一艺U恤艺}则显然。满足l()(3)今,,。,.,。,证“也满足(2)为此设“的有穷子集“一艺U{:i<}由假设条件艺U{:i厂_.,,,.<,飞有模型。因此。卜。即,卜,,。故有。。}:}使得:匕。V今设c,r、`ai/ó叼、一“`,则B一(a,。’,一“卜、)即为“的模型·户4:引理若句子集合艺满足

8、,(I)艺简单完备,(2)艺有穷可满足,,.(3)若,,中。则,,中在艺中有证据则艺有基数《c的模型艺艺·,2,证明设A为一切uT中元素构成的常项的集合今定义`一`卜斗`,一`2。易艺“”,,.·证一为A上的等价类即可证t一tr,一tZ一tZ一r:t,一tZ八,2一t,一t:一t,例如,:1我们证明最末一个性质假设该性质不成立则由简单完备性即得艺的有穷子集(t,,,·=tZtZ=13一(t,=t3)}无模型矛盾。:今定义艺的模型如下。t,,