数学物理方程练习题第九版(学生用).pdf

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1、《数学物理方程与特殊函数》习题练习一1．写出长为L的弦振动的边界条件和初始条件：（1）端点x=0,x=L是固定的；（2）初始状态为f(x)；（3）初始速度为g(x)；（4）在任何一点上，在时刻t时位移是有界的.2．写出弦振动的边界条件：（1）在端点x=0处，弦是移动的，由g(t)给出；（2）在端点x=L处，弦不固定地自由移动.3．验证函数u=f(xy)是方程xux−yuy=0的解，其中f是任意连续可微函数.练习二1.证明u(x,t)=e−8tsin2x是如下定解问题的解:2∂u∂u=2，u(0,t)=u(π,t)=0，u(x,0)=

2、sin2x.2∂t∂x2.设F、G是二次可微函数，（1）证明y(x,t)=F(2x+5t)+G(2x−5t)是方程4ytt=25yxx的通解；（2）求其满足条件y(0,t)=y(π,t)=0,y(x,0)=sin2x,yt(x,0)=0的解.2∂z23．（1）求二阶偏微分方程=xy的通解，（2）求该方程满足定解条∂∂xy2zx(,0)=xzy,(1,)=cosy的特解.1练习三1.求下列固有值问题的固有值和固有函数：Xx′′()+=lXx()0,X(0)=Xl′()=0.2．求如下定解问题的解：utt=a2uxx,0

3、,t>0,u(0,t)=ux(l,t)=0,3πx5πxu(x,0)=3sin+6sin,2l2lut(x,0)=0.3.求解以下定解问题：uuu=+2,0<0,ttxxutut(0,)=(1,)=0,ux(,0)=0,2ux(,0)=ππ-2sinx.t练习四1．求下列定解问题的解：ut=a2uxx,00,u(0,t)=0,u(l,t)=0,u(x,0)=x(l−x).2.求下列固有值问题的固有值和固有函数：Xx′′()+=lXx()0,X′(0)=Xl()=0.

4、3.求如下定解问题的解：2uu=,0<0,txxux(0,)tut=(2,)=0,5πxux(,0)4cos=.4练习五1．求下列定解问题的解：uu+=0,0<0)度，试求稳恒状态下该导热版的温度分布00规律ur(,)θ.问题归结为在稳恒状态下，求解拉普拉斯方程

5、∆=+=uuu0xxyy边值问题，即在极坐标系下求解定解问题：211∂∂uu∂r+=0,rrr<<,0<<θπ2,2212rr∂∂rr∂θur(,)0,(,)θ=urθ=u,0<<θπ2,120ur(,)θ=ur(,θπ+2)(自然边界条件).3．求下列定解问题的解：211∂∂uu∂πrr+=0,0<<1,0<<θ,22rr∂∂rr∂θ2πur(,0)=0,(,)ur=0,0<

6、sπx,(0<<>xt1,0),txxutut(0,)=(1,)=0,xxux(,0)=0.2．求解如下定解问题：2πxu=au+tsin,ttxxlut(0,)=ult(,)=0,t≥0,ux(,0)=0,ux(,0)=0,0≤≤xl.t3．求下列定解问题的解：22uu+=−2,xxy+<1,xxyyu22=1.xy+=1练习七1．求定解问题的解：2u=au,0<0,ttxxut(0,)=0,(,)1,ult=3πxxux(,0)=sin+=,ux(,0)xlx(−).tl

7、l2.求定解问题的解：txuu=8+coste+sin,0<0,txx2uttut(0,)=sin,(,)π=0,xux(,0)=0.43.求解以下定解问题：uuu=+2,0<0,txxxutut(0,)=(1,)=0,−xux(,0)=esinπx.练习八1．求定解问题的解：−xuu=2++42e,0<0txx−3utx(0,)1,(3,)=ut=−−18e,t>0,2−xux(,0)=−(2xe+),0<

8、0<