概率论与数理统计第三章作业.pdf

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1、概率论与数理统计第三章作业解答大龙在这里呢2017年10月16日摘要《概率论与数理统计》电子科技大学应用数学学院徐全智、吕恕主编，第三章作业题解答。目录1题型分布12习题解答11题型分布第三章《多维随机变量》二维随机变量及其分布：习题1-12联合分布函数联合分布律联合概率密度二维均匀分布（几何概率）二维正态分布随机变量的独立性：习题13-15条件分布：习题16-19条件分布律条件概率密度随机变量的函数及其分布：习题20-29离散型随机变量的函数及其分布律连续型随机变量的函数及其概率密度几种特殊函数的分布（

2、极值分布、和的分布、商的分布）：习题30-342习题解答1、二维随机变量（X，Y）的联合分布函数是：xy2F(X,Y)=A(B+arctan)(C+arctan),(x,y)∈R2312习题解答2试求：(1)系数A,B,C;(2)边缘分布函数.解：(1)πyπlimF(x,y)=A(B−)(C+arctan)=0⇒B=x→−∞232xππlimF(x,y)=A(B+arctan)(C−)=0⇒C=y→−∞222ππ1limF(x,y)=A(B+)(C+)=1⇒A=x→+∞22π2y→+∞(2)X的边缘分布

3、函数:1πxFx(x)=limF(x,y)=(+arctan)y→+∞π22Y的边缘分布函数:1πyFy(y)=limF(x,y)=(+arctan)x→+∞π232、将两个元件并联组成一个电子部件，两个元件的寿命分别为X与Y(单位：小时)，已知（X，Y）的联合分布函数为{−0:01x−0:01y−0:01(x+y)1−e−e+e,x≥0,y≥0;F(X,Y)=0,其他（1）关于X、Y的边缘分布函数；（2）此电子部件正常工作120小时以上的概率.解：(1)X的边缘分布函数:{−0:01x1−e,x≥0;F

4、x(x)=limF(x,y)=y→+∞0,其他Y的边缘分布函数:{−0:01y1−e,y≥0;Fy(y)=limF(x,y)=x→+∞0,其他（2）P{X≥120}∪P{Y≥120}=1−P{X<120}∩P{Y<120}−1:22−1:2−2:4=1−Fx(120)Fy(120)=1−(1−e)=2e−e=0.51173、对一个目标独立地射击两次，每次命中的概率为1/2，若X表示第一次射击时的命中次数，Y表示为第二次射击时的命中次数，试求X和Y的联合分布律以及联合分布函数。解：X和Y的联合分布律Y01X

5、01/41/411/41/42习题解答3联合分布函数:1,x≥1,y≥1;1,0≥x<1,0≥y<1;41F(X,Y)=,0≥x<1,y≥1;21,x≥1,0≥y<1;20,其他4、一个袋子中装有4个球，依次标有数字1，2，2，3，从中任意取出1个后（不放回），记下球上标的数字X，再取出1个球，记下其上的数字Y，试写出（X，Y）的联合分布律和关于X、Y的边缘分布律.解：Y123FiX102/121/123/1222/122/122/126/1231/122

6、/1203/12Fj3/126/123/1215、设二维随机变量（X，Y）的联合分布律如下：表1:二维随机变量（X，Y）的联合分布律Y01234X00.080.070.060.010.0110.060.100.120.050.0220.050.060.090.040.0330.020.030.030.030.04计算以下概率：（1）P｛X=2｝；（2）P｛X≤2,Y≤2｝；（3）P｛Y≥2｝；（4）P｛X=Y｝；（5）P｛X>Y｝.解：（1）P{X=2}=0.27（2）P{X≤2,Y≤2}=0.69（3）

7、P{Y≥2}=0.53（4）P{X=Y}=0.3（5）P{X>Y}=0.256、二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为{22cxy,x≤y≤1;f(X,Y)=0,其他2习题解答4确定常数C,并计算概率P｛X≥Y｝；解：∫+∞∫+∞∫1∫1∫1222y11=f(X,Y)dxdy=cxdxydy=cx[]x2dx−∞−∞−1x2−12∫14∫13721−xC26Cxx14C=cx[]dx=(x−x)dx=[−]−1=2223721−1−121=⇒C=4∫12∫x21xP{X≥Y}=dxydy=0.150

8、4x27、设二元函数为πsinxcosy,0≤x≤π,C≤y≤;f(X,Y)=20,其他问C取何值时，f(X,Y)是二维随机变量的概率密度？解：∫+∞∫+∞∫∫2π1=f(X,Y)dxdy=sinxdxcosydy=2(1−sinC)=⇒C=6−∞−∞0C8、随机变量(X,Y)的联合概率密度是{22C(x+y),0≤y≤1−x;f(X,Y)=0,其他试求：（1）常数C;（2）P{0