矩阵的条件数.ppt

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1、第二章向量范数与矩阵范数2.4矩阵的条件数考虑线性方程组它有准确解为:如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的变化，得它有准确解:，可以看出，方程组的解变化非常大。定义1：设，

2、

3、.

4、

5、是Cnxn上的一个矩阵范数.矩阵A的条件数定义为矩阵的条件数常用的条件数有：∞-条件数：1-条件数：2-条件数：矩阵的条件数常用的条件数有：特别地，当A是一个正规矩阵时，矩阵的条件数例1：设求A的条件数矩阵的条件数矩阵条件数的性质：(1)矩阵的条件数(2)(3)(4)当U是酉矩阵时，则(5)当A、B是可逆矩阵时，则n阶Hilbert矩阵矩阵的条件数Hilbert矩阵常常出现在数

6、据拟合和函数逼近的研究中.1.若条件数cond(A)较小（接近1），就称A关于求逆矩阵或解线性方程组为良态的或好条件的.误差估计中的应用2.若条件数cond(A)较大，就称A关于求逆矩阵或解线性方程组为病态的或坏条件的.注：cond(A)多大A算病态，通常没有具体的定量标准；注：当矩阵A十分病态时，就说明A已十分接近一个奇异矩阵。误差估计中的应用1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响误差估计中的应用定理1设是一个可逆矩阵，是一个矩阵，

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8、.

9、

10、是Cnxn上的一个矩阵范数.若则可逆，且有1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响误差估计中的应用推论1设

11、，若存在Cnxn上的一个矩阵范数

12、

13、.

14、

15、使得则有2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响误差估计中的应用定理2设，，而Cn上的向量范数与Cnxn上的矩阵范数

16、

17、.

18、

19、相容.设x是线性方程组Ax=b的解，是线性方程组的解若，则2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响误差估计中的应用2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响误差估计中的应用定理3设，，而Cn上的向量范数与Cnxn上的矩阵范数

20、

21、.

22、

23、相容.若向量分别满足Ax=b，，则有例2.设证明对任意范数，当时有.因

24、而矩阵A是病态的.误差估计中的应用例3.设为使线性方程组Ax=b的解x与的解的相对误差，试问应不超过何值？误差估计中的应用1.设，求A的条件数作业2.设且试估计线性方程组Ax=b的解x与Ax=b1的解x1的相对误差.作业