Monte Carlo 方法.ppt

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1、MonteCarlo方法黄世萍起源这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。MonteCarlo方法创始人主要是这四位：StanislawMarcinUlam,EnricoFermi,JohnvonNeumann和NicholasMetropolis。１MonteCarlo方法基础MonteCarlo（MC）方法是在简单的理论准则基础上（如简单的物质与物质以及物质与环境相互作用），采用反复随机抽样的手段，解决复杂系统的问题。该方法采用随机抽样的手法，可以模拟对象的概率与统计的问题。通过设计适当的概率模型，该方法还可以解决确定性问题，如定积分等。随着计

2、算机的迅速发展，MC方法已在应用物理、原子能、固体物理、化学、材料、生物、生态学、社会学以及经济学等领域得到了广泛的应用。MCmeothds"classical"MonteCarlo:samplesaredrawnfromaprobabilitydistribution,oftentheclassicalBoltzmanndistribution,toobtainthermodynamicpropertiesorminimum-energystructures;"quantum"MonteCarlo:randomwalksareusedtocomputequantum-

3、mechanicalenergiesandwavefunctions,oftentosolveelectronicstructureproblems,usingSchrödinger’sequationasaformalstartingpoint;"volumetric"MonteCarlo:randomnumbergeneratorsareusedtogeneratevolumesperatomortoperformothertypesofgeometricalanalysis;kinetic"MonteCarlo:simulateprocessesusingscal

4、ingargumentstoestablishtimescalesorbyintroducingstochasticeffectsintomoleculardynamics.MonteCarlo方法的基本思想MonteCarlo方法的基本思想是:为了求解某个问题，建立一个恰当的概率模型或随机过程，使得其参量（如事件的概率、随机变量的数学期望等）等于所求问题的解，然后对模型或过程进行反复多次的随机抽样试验，并对结果进行统计分析，最后计算所求参量，得到问题的近似解。MonteCarlo方法是随机模拟方法；它不仅限于模拟随机性问题，还可以解决确定性的数学问题。对随机性问题，可

5、以根据实际问题的概率法则，直接进行随机抽样试验，即直接模拟方法。对于确定性问题采用间接模拟方法，即通过统计分析随机抽样的结果获得确定性问题的解。用MonteCarlo方法解决确定性的问题主要是在数学领域，如计算重积分、求逆矩阵、解线性代数方程组、解积分方程、解偏微分方程边界问题和计算微分算子的特征值等。用MonteCarlo方法解决随机性问题则在众多的科学及应用技术领域得到广泛的应用，如中子在介质中的扩散问题、库存问题、随机服务系统中的排队问题、动物的生态竞争、传染病的蔓延等。简单的例子对积分进行变换，构造新的被积函数g（x），使得该函数满足下列条件：g（x）是连续随机

6、变量ξ的概率密度函数。定积分是概率积分，其积分值等于概率Pr（a≤ξ≤b），即这个步骤就是将一个积分转化为一个概率模型的过程；然后，反复多次的随机抽样试验，以抽样结果的统计平均作为索求概率的近似值，从而求得该积分。具体试验步骤如下：（1）产生服从给定分布函数g（x）的随机变量值xi（2）检查xi是否落入积分区域（a≤x≤b），如果满足条件，则记录一次。反复进行上述试验。假设在N次试验后，xi落入积分区域的总次数为m，那么，积分值近似表示为对于随机性问题，可直接将实际的随机问题抽象为概率数学模型，然后与求解确定性问题一样进行抽样试验和统计计算。MonteCarlo方法解决

7、实际问题的过程中，主要有以下几个内容①建立简单而又便于实现的概率统计模型，使所求的解正是该模型的某一事件的概率或数学期望，或该模型能够直接描述实际的随机过程。②根据概率统计模型的特点和计算的需求，改进模型，以便减小方差和减低费用，提高计算效率。③建立随机变量的抽样方法，包括伪随机数和服从特定分布的随机变量的产生方法。④给出统计估计值及其方差或标准误差。One-DimensionalIntegralsMethodicalapproachesrectanglerule,trapezoidrule,Simpson’sruleQuadrature