0001第二章方程求根.ppt

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1、第二章方程求根本章主要内容：第一节引言第二节迭代法第三节牛顿迭代法与弦割法1第一节引言科学技术及生产实践中的许多问题常归结为求解一元函数方程：f(x)=01、方程的分类代数方程超越方程方程2、超越方程未知数和一些常数不仅施行有限次代数运算，而且还要施行有限次指数、对数、三角函数等运算，这样的方程叫做超越方程3、方程的解通常叫方程的根，有时候也叫函数的零点。方程的根有复根与实根，本章只讨论实根。2第一节引言4、对于一般的超越方程，没有求根公式可以使用，而实际问题中，欲求得方程的根时，不一定要得到根的准确值，而只需求得满足一定精度的近似值即可。本章主要介绍各种求解近似根的方法。5、方程求根问题

2、包括三个问题（1）根的存在性。（2）有根区间的确定。（3）根的精确化。3第一节引言一、问题的提出1、根的隔离：求方程f(x)=0的近似根时，首先要确定出若干个区间，使得每个区间内y=f(x)与x轴有且只有一个交点。2、原理：根据连续函数的界值定理，设f(x)在区间[a,b]内连续，若f(a)，f(b)异号，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。3、隔离根的方法（1）描图法画出y=f(x)的简图，观察曲线y=f(x)与轴x的交点的大致位置，从而确定根的隔离区间；或将方程等价变换为g1(x)=g2(x)，画出y=g1(x)和y=g2(x)的简图，从两个曲线交点横坐标位置确定根的隔离区间

3、。4第一节引言（2）逐步搜索法先确定方程f(x)=0的所有实根所在的区间[a,b]，再按照选定的步长h=(b-a)/n（n为正整数），取点xk=a+kh(k=0,1,…,n)，逐次计算函数值f(xk)，依据函数值的异号及实根的个数确定根的隔离区间。4、举例（教材P13）例2－1：求方程3x-1-cosx=0的根的隔离区间方程变形：3x-1=cosx利用作图法例2－2：方程f(x)=x3-x-1=0，利用逐步搜索法确定它的一个根的隔离区间利用逐步搜索法可以得到具有任意精度的近似根，不过当减少步长时，搜索的步数增多，计算量增大，如果精确度要求较高，单用逐步搜索法是不合适的。5第一节引言二、二分

4、法1、给定方程f(x)=0,设f(x)在区间[a,b]上单调连续,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)在(a,b)内一定有实根,设方程f(x)=0在(a,b)内的实根为x*，求满足精度要求的的近似值实根。2、二分法的基本思想：通过计算根的隔离区间的中点，逐步将该区间缩小，从而得到方程的近似根数列{xn}。基本思想是移动端点，使有效的范围越来越小，必须保证端点乘积异号3、解题的具体思路取[a,b]区间二等分的中点x1=(a+b)/2（1）若f(x1)=0,则x1是f(x)=0的实根。6（2）若f(a)f(x1)<0成立，则表明f(x1)与f(b)同号，因此，x*必在区间(a,x1)内，取a

5、1=a,b1=x1；否则，f(a)f(x1)>0表明f(x1)与f(a)同号，x*必在区间(x1,b)内，则取a1=x1,b1=b，这样，得到新区间[a1,b1]，其长度为[a,b]的一半。（3）如此继续下去，进行n次等分7第一节引言进行n次等分后，得到一组不断缩小的区间：[a,b],[a1,b1],......[an,bn]….，它们之间的关系：其中每一个区间都是前一个长度的一半，从而[an,bn]的长度为如此继续下去，则有这些区间将收敛于一点，该点即为所求的根。8第一节引言4、实际应用实际中，无法也无必要去完成无穷的运算，只要能够获得满足预定精度的近似值即可。如果令区间[ak,bk]的

6、中点xk=(ak+bk)/2为x的近似值，则可以得到如下的一个序列：此时且xk=(ak+bk)/2即为所求方程的近似解。以上方法就是用于求方程实根近似值的二分法。为给定精度用ak和bk来描述精度9第一节引言5、迭代步数n的确定预先给定的精度所取的近似值为区间的中点10第一节引言6、举例例1用二分法求方程在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过解：f(1)=-5<0有根区间中点xnf(2)=14>0-(1,2)+f(1.5)>0(1,1.5)f(1.25)<0(1.25,1.5)f(1.375)>0(1.25,1.375)f(1.313)<0(1.313,1.375)f(1.344)<0(1

7、.344,1.375)f(1.360)<0(1.360,1.375)f(1.368)>0(1.360,1.368)1112第一节引言（事后估计）例2：教材P14，例题2-3可以解出对分次数n>或=7用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0在区间[1,1.5]内的一个实根，要求误差不超过0.0051314例3：东南教材P17，例题2-3用二分法求方程f(x)=x3-x2-2x+1=0在区间[0,1]内的一个实根，要求有3个