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1、第二章方程求根2.1方程求根与二分法2.1.1引言单个变量的方程/W=0(2.1.1)求根是数值计算经常遇到的问题•当f(x)为一般连续函数时，称式(2.1.1)为超越方程,如果f为多项式您=p(x)=亦+©严+...+孤直+务若旬为n次多项式，此时方程(2.1.1)称为代数(或多项式)方程.如果x*(实数或复数)使孑仗*)=0,则称x*为方程(2.1.1)的根，若/'仪)=仪・巧乜(兀).，心1,且黑仪*)工0,当m>i时，称啡为方程(2.1.1)的m重根或称x*是f的m重零点.若x*是f的m重零点,且g充分光滑,则
2、曲=八巧=.=严)(
3、巧=0。当f为式(2.1.2)表示的代数多项式时，根据代数基本定理可知方程(2.1.1)有n个根(含复根，m重根为m个根)，对n=2的代数方程ax2+bx+c=0它的根可由公式表示为-b±^b2-Aac而当尸3,4时方程的根虽可用公式表示，但表达式太复杂，一般不用，当n$5已没有直接用公式表达的求根算法.因此对n$3的代数方程求根方法与一般超越方程(2.1.1)-样都采用迭代方法求根，设表示f在区间［氐切上连续)，若有f(^)f(b)<0,则f(x)=0在区间上至少有一个实根，山,列称为有根区间，通常可用逐次搜索法求得方程(2.1.1)的有
4、根区间.例2.1求方程/(x)=x3-ll.lx2+38&-41.77=0的有根区间.解根据有根区间定义，对方程的根进行搜索计算，结果如卞表:X0123456吃)符号——++——+方程的三个有根区间为[1,2],[3,4],[5,6]・讲解：非线性方程f(x)二0求根，包括求超越方程和代数方程的根x*,方程的根也是f(x)的零点，即f(x*)=0,x*可以是实根也可以是复根，本章以求实根为主。求实根首先要确定根x*所在区间也切，称为冇根区间。根据连续函数性质，若f(x)在也切上连续，当f©)f(b)〈0时，[禺切为有根区间，为找到方程f(x
5、)二0的有根区间，可用逐次搜索法，也就是在x的不同点上计算f(x),观察f(x)的符号，如例2.1表中所示，只要在相邻两点f反号,则得到有根区间,本例得到三个有根区间，分别为[1,2][3,4][5,6].2.1.2二分法设feC[afb]f且[禺切为有根区间，取屮点心=苇纟，将它分为两半，检查产仪0)・与•是否同号，若是，说明根x*仍在牝右侧，取©=心,俎=“否则取勺=aA=%,得到新的有根区间⑷上J•长度仅为M，切的一半(见图2-1).重复以上过程，即取心=筈工将[如,$]•再分半，确定根在幻的哪一侧，得到新区间山2』2],其长度为[如
6、力』的一半，从而可得一系列有根区间[a,3]ZD[么1，外]—[幺2，必2]二…n[a謹，氏]n…其中每一个区间长度都是询一个区间长度的一•半，因此，[比的长度为.b-a且•花豊心=£气纭=卅,心即为方程(2.1.1)的根x*的一个足够精确的近似根，且误差b-a为(2.1.3)以上过程称为解方程的二分法•它计算简单且收敛性有保证，但收敛较慢，通常可用于求迭代法的一个足够好的初始近似.例2.2求方程张)=尸一兀一1=°：在区间［1.0,1.5］内的一个实根，耍求准确到小数点后第二位.解这里^=1.0,b=1.5，而f9)V0,f(b)>0,故
7、在［1.0,1.5］中有根,由式(2.1.3)知I耳一卢卜笋二占彳弓"。"W2S+1>io2:,当门二6吋得1比■/卜o.ooq已达到梢度要求，各次计算结果见表2-1.表2—1N°M鬲SX)的符号01.01.51.25■11.251.375+21.3751.3125-31.31251.3438+41.34381.3282+51.32821.3204■61.32041.3243-故X6=1.324为方程的近似根，误差不超过0.005.讲解：从有根区间［%］出发用二分法将它逐次分半，得到的近似根入=其误差为(2.1.3)式.它是求实根近似的有效
8、方法，但由于收敛慢，只用作迭代法的初始近似.2.2迭代法及其收敛性2.2.1不动点迭代法求方程（2.1.1）的根吋将方程改写为等价形式X=沁）（2.2.1）若x*满足兀则称x*为4）的一个不动点，x*也是方程（2.1.1）的一-个根，如果4）连续，可构造迭代法x切1=矶忑），上=0,1,…（2.2.2）称为不动点迭代法，（1）称为迭代函数.若给定初始近似X。：，由式（2.2.2）逐次迭代得到9、2）可知，（1）的不动点就是直线尸=x与1111线卩=叙兀）的交点、P*,横坐标x*即为不动点，从它的某个初始近似衍出发，在曲线卩=卩（X）确定一点P。，引平行x轴直线，与直线P
