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1、1.对例1若要求计算到兀-Xk第七章函数方程求根<10-"，问k应为多大?只需2*>0.3xl04,即:-x,
2、<^(A-^)<10-4,即^(1.3-1)<10-4k>log23000=11.55074678---,故k应等于12。2.对/（x）=0,取三点，用二次反插值法求/（X）的根F的近似，即/用⑷丿⑷）），C，/（cj）表示的近似。解法1：设尹二/（x）的反函数为x=（p（y）,若记,y2=f（勺），儿二./G）,则0（尹］）=4，0（丿2）=勺,（p（y3）=Cl,对于0（y）用Lagrange插值公式:^(y)=0一只）0一丿3）（y2一戸心-儿）0（儿
3、）0(儿)+0(必，儿,儿,y)(y-yi)(y-y2)(y一儿)令y=0代入上式得:=0(0)=e/(bj/(cj*b]/(q)/(q)(/(6)-/®))(/(q)-/(cJ)(/&)一/⑷))(/(勺)一/(cJ)Iq/G)/(bJ(/C)一/⑷))(/6)-./@))+0®丿2，儿，0）/（4）/（勺）/（5）丢掉右边第4项，即得:47W/C)*%/(e)/(C])(/⑷)_/(bJ)(/(q)-/(q))(/(勺)一/(q))(/(bJ-/(q))+q/(q)/(»)(/(cJ-/(0))(/6)-Mbj)解法2：设y=f(x)的反函数为x=(p(y),若记
4、y{=f(a{),y2=/©),%=f(c{),则0(只)=4，0(儿)=人，0(儿)=5,对于0(y)用Newton插值公式:（P（y）=0（Pi）+0（歹］,夕2）（尹一7J+曲，夕2，歹3）（尹一7J（尹一72）+0（y1，尹2，夕3，F）（7-y^（y一尹2）（歹一歹3）令y=0代入上式得：0(0)=Q]+S-4/(勺)-/(4)(0-/(e))+0®,儿，儿)(°-))(0-f(b}))+0®，尹2』3,0）（0-）（0-儿）（0一儿）丢掉右边笫4项，即得：(/(如―/(勺))(他)—/(cj)H1J（/（*!）-/⑷））（/（%）-/（CJ）（/（CJ-
5、/⑷））（/6）-/（%））3.y=f（x）的反函数为x=（p（y）,对它在节点（/（a）,a）处作重节点插值，问x*=©（0）的近似公式是怎样的？解：令：必=/⑷,则0（M）=d,且0（尹）=,若将©0）在x点作重节点插/（0（刃）值，则:000=卩(必)+0(乃)0-必)+0(尹1，必』)(夕一必)，令y=o得：x=<^(0)=a+——(0-f(a))+(p{yx,yx,0)(0-/(a))2,丢掉右边第三项,即得:/⑷旺二a-厶色,此即为牛顿法迭代公式。/(Q)7.用迭代法求解开普勒(Kepler)方程：M=x-Esinxf其中：M=0.8,£=0.2,取初始值
6、X。=0.8,并估iTx10的误差。解：原方程与x=M+Esinx等价,于是取/(x)=M+£sinx,则/(兀)是［0.6,1］上的压缩映彖，因为对于Vxe［0.6,1］,
7、/(x)-0.8
8、=
9、£sinx
10、11、/X(x)
12、=
13、£cosx
14、<£=0.2<1,由推论知/⑴是［0.6,1］上的压缩映彖。故取初始值x0=0.8,经计算得：kXzkk00.840.964302461380.964333882410.943471218150.964330305290.96433388720.961920
15、102760.9643334793100.964333887630.96405825570.9643338411110.9643338876厂0而且:X*-x10<——卜o-xj=1.28X10'7X0.1434712181=0.000000018364315,1—厶即“°至少有7位有效数字。8.验证下列函数满足李普希茨条件：(1)/(X)=5-jCos3x,xg[0,^]解：对Vxjw[0,乎],有：
16、/(兀)-/(y)
17、=j
18、cos3x-cos3y
19、=
20、2sin3(x~y)sin3(^y)<
21、x-j^
22、,即厶=弓(2)/(X)=2+j
23、x
24、,xg[-1,1]解：对
25、1,1],有：
26、/(兀)—/(刃卜
27、—I”马卜一儿即厶#(3)/(x)=l/x,xe[2,3]解：对e[2,3],W:f(x)-f(y)=<^-x-y,即厶二+xy4所以:9.对例3,如果利用x13,x14作估计,则问k要多大,才能使七510“?解：已知x-xk<£a'14x*-x14厂-13广-13%*-xk<-―
28、x13-x14
29、，因此，欲使x*_Xk<10-6,只需一
30、x13-x14
31、<106,(x-xn即^-13>-61nl0-ln——叫/In厶=10.30453295,所以k>24即可。I1-厶丿10.对方程f(x)=x+x用迭
