ch7非线性方程求根

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1、数值分析ComputationalMethodChapter7非线性方程求根第7章非线性方程求根7．1方程求根与二分法1.引言设若有使则称是方程的根或的零点。若，当时,称为方程的单根，当时,称为方程的m重根或的m重零点。定理若有m阶导数，则是的m重根的充分必要条件是，。证明:依据泰勒中值定理知.泰勒公式：2.二分法零点定理若又则。依据零点定理对区间逐次分半进行根的搜索，这就是二分法。，；具体作法如下：设，令，（1）若，则是根；（2）若，令；（3）若，令。对再二分且同样的讨论，得和一半的区间将此过程继续下去，得则。定理设又则由二分法得到的收敛于根，且有根的近似值误差估

2、计式：。7．2迭代法及收敛性1.不动点迭代法的概念将改写成等价形式。若有使,则将称为的不动点。求的根,也就是找的不动点。设选择（初始近似值）并构造（2.2）计算公式（2.2）称为迭代格式,称为迭代函数,得到的称为迭代序列,用公式（2.2）逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或不动点迭代法)。若,则称迭代收敛,否则,就称迭代发散。若,迭代都收敛，则称迭代全局收敛。压缩映象原理设若(1)当时，有，(2)使有则使。证明压缩映象原理证明证存在性。令（1），则（2），则（3），据零点定理，，使。；；证唯一性。若另有是不动点，这与矛盾。证毕2.全局收敛全局收敛性定理设若时，有;，

3、使有迭代公式则,迭代法收敛，且有以下估计式（1）（2）（3）证明，证（1）又由于是固定数，而，所以，，迭代收敛。证（2）所以，注：全局收敛性定理中条件(2)换成,，定理结论仍成立。证（3）因而证毕据拉格朗日定理，3．局部收敛和p阶收敛定义若是的不动点，,使,由迭代公式产生的序列，有，则称迭代局部收敛。定义若局部收敛性定理是的不动点，在连续，迭代公式，则(1)当时，迭代局部收敛；(2)当时，迭代发散。证明由于存在，故,当时，存在，连续。且由极限的保号性，当时，使；当时，有。满足(2);当时，满足（1）；据全局收敛定理,在上收敛。当时，所以，，，迭代不收敛。证毕定义设，

4、若，则称迭代过程是p阶收敛。特别地，p=1称为线性收敛，p>1称为超线性收敛，p=2称为平方收敛。定理若,,则迭代过程是p阶收敛。证明证毕例设方程，根,将方程改写成下列等价形式：（1）；（2）；（3）。试建立相应的迭代格式，并分析它们的收敛性，然后选取一个格式作为计算公式。解（1），；，；，。（2）（3），，收敛；，，不收敛；，，收敛。因为，，取作为计算公式。解毕7．4牛顿法（切线法）其牛顿迭代函数由解出得。例设用牛顿迭代法求方程内的根，在取，要求。解，，因为,所以,解毕1．牛顿迭代法及其收敛性例设,写出用牛顿法求的迭代计算公式，并分析收敛性。解令，取所以，单减有下

5、界，存在，于是，对本题计算公式取极限，有，说明，本题计算公式在上全局收敛。解毕牛顿迭代函数设是的单根，即,。,故，牛顿法在邻近至少是2阶收敛的。。2．简化牛顿法特别即牛顿法。7．5弦截法与抛物线法3．弦截法取是1步迭代法，1阶收敛4．快速弦截法取是2步迭代法，1．618阶收敛5．抛物线法（密勒法）若用三点,,连接成抛物线取与轴上靠近的交点当作的近似值。该法称作抛物线法或密勒法.计算公式为是3步迭代法，1．840阶收敛.证明二次牛顿插值其中令解出号取与符号相同，即6．牛顿下山法（全局收敛）的解，则若视为在处的高度，则是山谷的最低点，若有，则是一个下山序列,若，且，，取

6、，，例取7．重根情形复习定理若有k阶导数，则是的k重根的充分必要条件是，。牛顿迭代函数，，收敛。，所以，收敛是1阶收敛。(1)已知重数k修改牛顿迭代函数，收敛是2阶收敛。2.重数k未知设迭代函数，则是的单零点.收敛是2阶收敛。7．3迭代收敛的加速方法1.埃特金加速法设,,是1阶收敛，且有,,,,相除得：即：解出：埃特金加速法2.斯蒂芬森迭代法斯蒂芬森迭代由于，新迭代函数7．6非线性方程组的解法非线性方程组两种解法:不动点迭代法(简单迭代法)牛顿迭代法1．不动点迭代法（简单迭代法）改写成等价形式简单迭代法：压缩映象原理和收敛性定理也成立。2.牛顿迭代法雅可比矩阵牛顿迭

7、代法例写出解以下非线性方程组的迭代格式解简单迭代法：取迭代至28步后，得解的近似值为，牛顿迭代法：其中：取仅迭代了4步，得解的近似值为，解毕例求解以下非线性方程组(仅迭代2步).,解，，,所以，得方程组解的近似值为，解毕