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1、第二章方程求根§2・0引言§2.1二分法§2・2简单迭代法§2.3牛顿（Newton）法§2.4其它求根方法（迭代过程的加速方法）§2.5作业讲评§2.0引言非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，非线性方程的求根也成为其中一个重要内容。一般而言，非线性方程的求根非常复杂。在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如(1)在光的衍射理论(thetheoryofdiffractionofIight)中，需要求x~tanx=0的根(2)在行星轨道(planetaryorbits)的计算中，对任意的a和b,需要求x-asinx二b的根(3)在数学中，需要求n次多项
2、式anxn+anAxn~x+・・・+°]X+=°的根。非线性方程的一般形式/(兀)=0这里/(x)是单变量X的函数，它可以是代数多项式f(x)=anx'+q曲兀山+…+q“+a。也可以是超越函数，即不能表示为上述形式的函数。满足方程/(兀)=0的x值通常叫做方程的根或解，也叫函数/(X)=0的零点。二分:去(BisectionMethod)1概念：二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。在用近似方法时，需要知道方程的根所在区间。若区间［eb］含有方程心）=0的根，则称［eb］为.心）=0的有根区间;若区间［。,切仅含方程心）=
3、0的一个根，则称为心）=0的一个单根区间。2.基本思想根的存在定理（零点定理）:.心）为［Q,切上的连续函数，则［恥］中至少有一个实根。如果.心）在［°,切上还是单调递增或递减的，则.心）=0仅有一个图示：二分法3•构造原理直接取区间
4、a,b]的中点x=(a+b)/2作为问题的近似解，那么我们可以估计出绝对误差限仅为区间长的一半，即e=(b-a)/2。如果这个结果能满足精度要求，我们就停止进一步的计算；如果不能，就求出f(x),结果只能是下面三种情况之一：(1)f(a)f(x)<0,此时我们有x*e[a5x]；(2)f(x)・f(b)<0,此时我们有x*e[
5、x9b]；(3)f(x)=O,此时x即为问题的精确解。在前两种情况下，我们可以用x分别替换原问题中的b或a,从而把求解的区间减小了一半。这样我们又可以取新区间[a,b]的中点。经过N次迭代后，剩下的区间长为(b-a)/2V。这也是结果的绝对误差限。如此继续下去就达到是有根区间逐步缩小的目的，在这一些相互包含的子区间中构造收敛的数列iXk｝来逼近根X*。例求方程您=x3-ll.lx2+38.8x-41.77=0的有根区间.解根据有根区间定义，对方程的根进行搜索计算，结果如下表:X012KR符号——+3456+——+方程的三个有根区间为[1,2],[3,4],[
6、5,6].非线性方程f(x)二0求根，包括求超越方程和代数方程的根x*,方程的根也是f(x)的零点，即f(x*)=O,x*可以是实根也可以是复根，本章以求实根为主。求实根首先要确定根x*所在区间他切，称为有根区间。根据连续函数性质，若f(x)在[淞]上连续，当f(^)f(b)<0时，[以]为有根区间，为找到方程f(x)二0的有根区间，可用逐次搜索法，也就是在x的不同点上计算f(x),观察f(x)的符号，如例2.1表中所示，只要在相邻两点f反号，则得到有根区间，本例得到三个有根区间，分别为[1,2][3,4][5,6],4.基本步骤假设f(x)=O,在区间［a
7、,b］中只有一个根，且满足f(a)f(b)<0,则利用二分法构造求根过程为：While(
8、a-b
9、>eps)x=(a+b)/2计算f(x)若(
10、f(x)
11、12、床第1步产生的兀1=—有误差Z-X*第&步产生的耳A］有误差对于给定的精度G可估计二分法所需的步数&：<£
13、b-a%=k〉［ln(b_Q)_hi可In2注：用二分法求根，最好先给出/(兀)草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将阪方］分为若干小区间，对每一个满足f(akf(bk)<0的区间调用二分法程序，可找出区间［a,〃］内的多个根，不必要求<0O6例题例1证明方程1—X—sinx=0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5x10一4的根要迭代多少次？证明令f(x)=1—x—sinx,Jf(0)=l>0,f(l)=-sinl<0f(x)=l—x—sinx=0在[0,1]有根.又f(x)=l-cosx>0(xe[0.1]),故f(x)=0在区间[
14、0,1]内有唯一实根.给定误差限s=0.5xl0-4
