方程求根解析课件.ppt

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1、2一元方程求根（SolutionsofOneVariableEquations）本章主要内容2.1二分法2.2基本迭代法2.3牛顿迭代法2.4弦位法2.5迭代法的改善与加速重点：各种算法的思路及迭代公式的构造难点：各种算法的收敛性、收敛速度及误差估计模型：f(x)=0单根、重根实根、复根有根区间单根区间2.1二分法二分法又称区间对分法，是最直观、最简单的一种方法。2.1.1二分法原理若f(x)在[a,b]内单调连续，且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a,b)内必有惟一的实根。2.1.2二分法思想区间对分，去同存异2.1.3二分法计

2、算步骤2.1.4二分法的收敛性2.1.2二分法的优缺点算法简单直观，易编程计算；只需连续即可；区间收缩速率相同，收敛速度慢；无法求复根和偶重根。例2-1p15例12.2基本迭代法2.2.1迭代法原理同解变换对收敛性很重要例2-2p19例3哪个公式好？2.2基本迭代法2.2.2迭代法的计算步骤2.2.3迭代法的几何意义及收敛性条件迭代法的几何意义是求曲线和交点的横坐标。xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=y=y=y=x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1可以看出：若的变化幅度小于的变化

3、幅度时，迭代公式收敛，否则，迭代公式不收敛。2.2.4迭代法的收敛性定理2-1迭代收敛基本定理说明：式（2-1）的Lipschitz条件太强，不好验证。通常采用更强的条件2.2.4迭代法的收敛性2.2.5迭代法的特点算法逻辑结构简单；在计算时,中间结果若有扰动,仍不会影响计算结果；不同的迭代公式在收敛性、收敛速度上有差别。2.2.4迭代法的收敛性例2-4例2-52.3牛顿（Newton）迭代法2.3.1牛顿法原理2.3.2牛顿法的几何意义2.3.3牛顿法的计算步骤例2-6p23例6例2-7用牛顿公式求x=e-x在[0,1]的近似根例2-8对

4、f(x)=xn-a及f(x)=1-a/xn用牛顿公式求2.3.4牛顿法的收敛性及收敛速度例2-9用牛顿迭代法推导求的迭代公式，并求收敛的阶。证明2.3.5牛顿法的特点及牛顿下山法2.3.6重根的处理2.3.7代数方程求根2.4弦位法2.4.1弦位法思想2.4.2弦位法的几何意义2.4.3弦位法的计算步骤2.4.4弦位法的收敛性2.4.5弦位法的特点收敛速度夹较快，但比牛顿法慢；超线性收敛，收敛阶为1.618；无需计算导数，每步只需计算一次函数值；属于多点迭代，而牛顿法和一般迭代法属于单点迭代。2.5迭代法的改善与加速2.5.1一般的加速算法

5、2.5.2埃特金（Aithen）加速算法埃特金算法的思想是将一般迭代法和弦位法相结合来实现加速迭代算法的收敛速度的。8.1欧拉（Euler）法欧拉法的几何意义欧拉法就是用一条折线近似代替微分方程解的积分曲线y=y(x)。故欧拉法也称为折线法。例8-4求解初值问题显欧拉公式程序及算例精确解：xiyiy(x)0.001.0000001.0000000.201.1200001.1832160.401.2011431.3416410.601.2415621.4832400.801.2321341.6124521.001.1539211.732

6、0518.1.2隐欧拉公式用向后差商代替导数就可得到初值问题（8-1）的向后欧拉公式（8-4）,它是一个隐式公式，称为隐欧拉公式或向后欧拉公式。隐欧拉公式程序及算例注意：yi+1的初值y(0)i+1需要用向前欧拉公式通过迭代法求得，满足条件即可。例8-5用向后欧拉公式求解例8-4及结果比较01110xiyi1yi2y(x)0.001.0000001.0000001.0000000.101.1000001.0907381.0954450.201.1918181.1740761.1832160.301.2774381.2512491.2649

7、110.401.3582131.3230941.3416410.501.4351331.3901781.414214提示：对于隐式公式，当f(x,y)是关于y的线性函数时，则隐式公式可以显式计算。如原问题隐欧拉公式显式计算公式8.1.3梯形公式将向前欧拉公式（8-3）和向后欧拉公式（8-4）相结合，即用梯形公式求小区间的积分就得到梯形公式（8-5）。后面将会证明，梯形公式是二阶方法，而前两者是一阶方法，但梯形公式仍是隐公式。8.1.4中点欧拉公式用中心差商代替导数，就得到了中点欧拉公式。（8-7）提示：中点欧拉公式仍然是二阶方法，但它是一个

8、，需要提供2个初值y0和y1来启动递推过程。而前面的三种方法都属于单步方法。8.1.5改进的欧拉公式先用显式欧拉公式作预测，算出再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到（8-8）称