《方程求根的迭代法》PPT课件

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1、第四章方程求根的迭代法高次方程超越方程问题：设是实系数多项式或是任意实函数，求的根，其中.定义按照一定规则（某个固定的计算公式），把解的近似值逐步精确化，直到满足实际问题的精度要求.――――――――迭代法其基本思想如下：①将方程转化为等价方程迭代函数②取初值，用显示公式计算得数列③若，则计算停止，否则继续迭代.012345610.50.6666660.60.6250.6153850.619048789101112130.6176470.6181820.6179780.6180560.6180260.6180370.6

2、18033记笔记由得表一：由表一知迭代收敛于的根.而由得表二：由表二知迭代是发散的．01234561.51.375211.330681.325851.324931.324751.32473012…1.52.37512.398…1.迭代函数如何构造？2.初值的选取3.误差估计（迭代结束的条件）例用迭代法求方程，在x=1.5附近的一个根§1开方法记笔记k1.4142141.4142141.4142161.4666671.51Xk453210记笔记令，则由上式得对任意，总有，所以．定理1开方公式对于任意初值均收敛．思考题1

3、．若，开方公式结果如何？2．证明对于任意，开方公式所得序列单调减有下界．k012345Xk121.751.7321431.7320511.732051§2法－－－－迭代公式迭代函数1．是否收敛于方程的根或什么条件下收敛？2.迭代函数有什么特性？牛顿迭代法的几何解释Newton法又称为Newton切线法或切线法yx0x0f´´(x)>0X*yx0x0f´´(x)<0yx0f´´(x)<0x0yx0f´´(x)>0x0从几何的角度探讨牛顿迭代法的收敛性x1y0x0X*0x0X*x2不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的

4、情况而找不到根或死循环的情况从几何角度探讨牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的计算流程例用牛顿迭代法求x=e-x的根,ε=10-5解：因f(x)=xex–1,f´(x)=ex(x+1)建立迭代公式取x0=0.5,逐次计算得x1=0.571021,x2=0.567156,x3=0.567143,x4=0.567143求倒数，就是求解方程则相应的迭代公式思考题：1.讨论其收敛性及收敛条件2.讨论牛顿迭代法的收敛条件．，其法的迭代函数为§3压缩映象原理如果由迭代格式产生的序列收敛,即则称迭代法收敛．－－－－－－结束条件(a)(b

5、)定理2设函数在[a,b]上具有连续的一阶导数,且满足（1）封闭性条件对所有的x∈[a,b]有∈[a,b]（2）压缩性条件存在0

6、例2已知讨论迭代在区间的敛散性.例4求的近似值，.例3用下列迭代法求的正根的近似值，试判断其敛散性.（1）；（2）.迭代法的算法框图实验：1.探讨初值对迭代收敛的影响.2.同一方程构造不同的迭代，探讨敛散性；比较收敛迭代的收敛快慢情况.三、局部收敛性定理3设在的根的邻域中有连续的一阶导数,且则迭代过程具有局部收敛性.未知，如何求？（1）定理3对初值的要求比较高，一般用对分法找出较满意的初值，定理2对初值的要求较宽松．（2）一个迭代若是整体收敛的，则一定局部收敛；反之则不成立．例5已知方程在附近有一实根，讨论迭代的敛

7、散性.并计算结果，取.解：令，则取计算结果见书.附近的实根，且则取收敛于.例6设，要使迭代过程局部收敛到,求的取值范围.解：由在根邻域具有局部收敛性时，收敛条件所以例7已知方程在内有根,且在上满足,利用构造一个迭代函数,使局部收敛于.解:由可得,故,迭代公式局部收敛于分析，则由习题9,对应的迭代发散.定义2设迭代过程收敛于的根,记迭代误差若存在常数m（m≥1）和c（），使则称序列是m阶收敛的,特别地,m=1时称为线性收敛,m=2时称为平方收敛.1

8、收敛阶.定理4设迭代过程，若在所求根的邻域连续且则迭代过程在邻域是m阶收敛的.证明：则此迭代过程是m阶收敛的.迭代过程局部收敛于，又例9已知迭代公式收敛于证明该迭代公式平方收敛.证:迭代公式相应的迭代函数为将代入，根据定理4可知，此迭代平方收敛.牛顿迭代法的收敛性分析定理5设是方程的单根,且f(x)在的某邻域内有连续的二阶导数,则牛顿法是局部收