微积分A模拟试题(4).pdf

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1、联系方式：wechat:zyy1659949090QQ:1932211370Email:zhangyy17@mails.tsinghua.edu.cn清华大学本科生考试期末模拟试题（三）专用纸考试课程：微积分B（2）命题人：张阳阳系名班级姓名学号一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1y1y1.交换累次积分次序2dyf(x,y)dxdyf(x,y)dx。111y422442.设D平面上以原点为圆心的闭单位圆盘，则二重积分ysin(xy)dxdy。D3.由六个平面3xyz1，x3yz1，xy3z1的所围立体

2、体积V。4.设曲线L的参数方程为x1sint，y1cost，0t2，则第一类曲线积分2ydl。22(x1)(y1)L25.ydxxdy，其中L为曲线yx1从A(0,1)到B(1,0)。L226.积分(xyyzzx1)dS，其中S为锥面zxy被柱面S22xy2所截得的有限部分。2227.柱面xy1介于曲面z1x与平面z0之间的面积为。228.设S为圆柱面{(x,y,z)

3、xy1,0z2}的外侧，则第二类曲面积分xyedxdy(yz)dydz。S9.V(x,y,z)(xyz

4、,xyyzzx,xyz)，则divV。10.f(x,y,z)sin(xyz)，则gradf，rot(gradf)。11.设duycos(xy)dxxcos(xy)dysinzdz，则u(x,y,z)。1,x012.设fx，则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于21x,0x_________。nn113.设幂级数anx的收敛半径为3，则幂级数nanx1的收敛区间为_______。n0n1第1页共2页联系方式：wechat:zyy1659949090QQ:1932211370Email:zhang

5、yy17@mails.tsinghua.edu.cn12n14.求幂级数(1)x在区间(-1,1)内的和函数S(x)______________________。n12n1222215.设是由球面z2xy与锥面zxy的围面，则三重积分222If(xyz)dxdydz在球面坐标系下的三次积分表达式为_。二．计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）22xy21.（10分）设L为椭圆1，其周长为a，计算(3x2y1)dl。49L2xdydz(z1)dxdy222.（10分）求积分，S为下半球面z1

6、xy1S2222(xyz)的下侧。3.（10分）计算积分x2y2z2dxdydz，2222(x,y,z)xyz1xy。4.（10分）设f(x)二阶可导，f(1)0,f(1)0，并设在右半平面（x0），第二类曲线(B)92积分2f(x)ydxxf(x)sinydy与路径无关，求f(x)。L(A)x2三．证明题1xy1121.（7分）设f为连续函数，证明：0dx0dy0f(z)dz0(1z)f(z)dz。222.（8分）设DR为单连通有界闭区域，其边界D逐段光滑，n为边界的外法向量，2

7、2uu二阶连续可微函数u(x,y)为D内的调和函数，即0,(x,y)D，r为D内220xy任意一点，r为r到D上点的向量，rr。证明：01cosr,nu（1）u(r0)ulnrdl；2Drn1（2）如果L为以r为圆心，R为半径的圆，则u(r)u(x,y)dl。R002RLRu（3）曲线积分dl在D内与路径无关。nL第2页共2页