用虚设零点法解函数极值问题.pdf

《用虚设零点法解函数极值问题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、２０１３年第２期中学数学教学３５用虚设零点法解函数极值问题浙江省绍兴鲁迅中学柯桥校区田萌（邮编：３１２０３０）解决有关函数极值问题，一般都是通过求导２１ｆ（ｘ２）＝ａｘ２－２ｘ２＋ｌｎｘ２＝ｘ２－－２ｘ２函数的零点求出极值点来实现，然而，有些时候２这一招却不灵啦，请看下例：１＋ｌｎｘ２＝－＋ｌｎｘ２－ｘ２．２２例１已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ－２ｘ＋ｌｎｘ有两１３问题就变成了证明函数ｆ（ｘ２）＝－＋ｌｎｘ２个极值点，证明：ｆ（ｘ）的极小值小于－．２２分析第一步：求定义域．函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２－ｘ２的值小于－３，又在０＜ａ＜１的条件下，２２－２ｘ＋ｌｎｘ的定义域为（０，＋∞）．１＋槡

2、１－２ａ１ｘ２＝＞１．第二步：求导．ｆ′（ｘ）＝２ａｘ－２＋２ａｘ２１２ａｘ－２ｘ＋１令ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘ，ｈ′（ｘ）＝－１．ｘ＞１时，ｈ′（ｘ）＝．ｘｘ＜０，ｈ（ｘ）在（１，＋∞）上是减函数，所以当ｘ＞１时，第三步：求极值点．２２１３令ｇ（ｘ）＝２ａｘ－２ｘ＋１，函数ｆ（ｘ）＝ａｘｌｎｘ－ｘ＜－１，由此ｆ（ｘ２）＝－＋ｌｎｘ２－ｘ２＜－．２２－２ｘ＋ｌｎｘ有两个极值点的必要条件是ｇ（ｘ）＝３２ａｘ２故ｆ（ｘ）的极小值小于－．－２ｘ＋１＝０当ｘ＞０时有两个不等实根．２而ｇ（ｘ）＝２ａｘ２－２ｘ＋１＝０（ｘ＞０）有两个不评注解答本题的关键是不直接求ａ＞０，烄ｆ（１＋槡１－２ａ

3、），而是通过设ｆ′（ｘ）的零点为等实根的充要条件是△＞０即０＜ａ＜１．２ａ烅２１２＞０，ｘ２，则ｘ２满足２ａｘ２－２ｘ２＋１＝０，通过整体代换烆２ａ化简ｆ（ｘ２）．这种方法是用了零点，但不求出零设此时２ａｘ２－２ｘ＋１＝０的两根为ｘ１、ｘ２，点，我们不妨把它叫做“虚设零点法”．且ｘ１＜ｘ２．下面再看两个例子．当０＜ｘ＜ｘ１时，ｇ（ｘ）＞０，即ｆ′（ｘ）＞０，１３２例２已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ－ｘ＋ａｘ－ｆ（ｘ）在（０，ｘ１）上单调递增；３当ｘ１＜ｘ＜ｘ２时，ｇ（ｘ）＜０，即ｆ′（ｘ）＜０，ａ（ａ∈Ｒ）．若函数ｆ（ｘ）的图象与ｘ轴有且只有ｆ（ｘ）在（ｘ１，ｘ２）上单调递减；一个交点

4、，求ａ的取值范围．当ｘ＞ｘ２时，ｇ（ｘ）＞０，即ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）分析三次函数ｆ（ｘ）的图象与ｘ轴有且只在（ｘ２，＋∞）上单调递增．有一个交点等价于：１＋槡１－２ａ①函数单调且函数值不同号；②函数极大值所以，ｆ（ｘ）的极小值点是ｘ２＝．２ａ小于０或极小值大于０．第四步：求极小值．因此，求导，得ｆ′（ｘ）＝ｘ２－２ｘ＋ａ，此时，你就会发现，ｆ１＋槡１－２ａ无法求因△＝４－４ａ＝４（１－ａ）．（２ａ）①若ａ≥１，则△≤０，所以ｆ′（ｘ）≥０在Ｒ出，要证明ｆ１＋槡１－２ａ３更无从谈起，上恒成立，所以ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增．（２ａ）＜－２又因为ｆ（０）＝－ａ＜０，ｆ（３）＝２ａ

5、＞０，所以思维受阻，解题行为被迫停止．ｆ（ｘ）在（０，３）上有零点．怎么办？所以，当ａ≥１时，函数ｆ（ｘ）的图象与ｘ轴设ｆ′（ｘ）的零点为ｘ，则２ａｘ２２２－２ｘ２＋１＝０，有且只有一个交点．３６中学数学教学２０１３年第２期②若ａ＜１，则△＞０，个问题有什么困难，但在实际做题过程中却因所以ｆ′（ｘ）＝０有两个不相等的实数根，不为ｆ（１－槡１－ａ）、ｆ（１＋槡１－ａ）无法算出妨设为ｘ１、ｘ２，（ｘ１＜ｘ２）．来，而使解题陷入困境．解决困境的办法：一是当－∞＜ｘ＜ｘ１时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）在站在更高的角度，整体认识问题的本质，把“函（－∞，ｘ）上单调递增；１数极大值小于０或

6、极小值大于０”转换成当ｘ１＜ｘ＜ｘ２时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）在（ｘ１，ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２）＞０；二是在处理ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２）ｘ２）上单调递减；的值时，通过“虚设零点法”结合一元二次方当ｘ＞ｘ２时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）在（ｘ２，＋∞）程根与系数的关系整体处理．其中，关键是用上单调递增．“虚设零点法”．所以ｆ（ｘ）在ｘ处取值极大值，在ｘ处取得例３给定函数φ（ｘ）＝ｘ２１２－２ｔｌｎｘ（ｔ＞０），极小值．ｔ为何值时，方程φ（ｘ）＝２ｔｘ有唯一解．于是应该有ｆ（ｘ）＜０或ｆ（ｘ）＞０．解记Ｇ（ｘ）＝φ（ｘ）－２ｔｘ＝ｘ２１２－２ｔｌｎｘ－然而，由于ｘ１＝１－槡１－ａ，ｘ

7、２＝１２ｔｘ，则函数Ｇ（ｘ）的定义域为（０，＋∞）．若方程（ｘ）＝２ｔｘ有唯一解，即Ｇ（ｘ）＝０有唯一解．φ＋槡１－ａ，Ｇ′（ｘ）＝２ｘ－２ｔ－２ｔ＝２（ｘ２－ｔｘ－ｔ），令ｆ（１－槡１－ａ）、ｆ（１＋槡１－ａ）将面临无法ｘｘ算下去的困境．２Ｇ′（ｘ）＝０，得ｘ－ｔｘ－ｔ＝０．怎么办？用虚设零点法．因为ｔ＞０，ｘ＞０，一方面，因为ｘ１、ｘ２是方程ｆ′（ｘ）＝０的两２ｔ－槡ｔ＋４ｔ根，所以ｘ１＋ｘ２＝２，ｘ１ｘ２＝ａ．所以ｘ１＝＜０（舍去），２另一方面，因为ｘ２，１－２ｘ１＋ａ＝０２ｔ＋槡ｔ＋４ｔｘ２＝．