例解函数零点问题.pdf

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1、数学·专题探讨例解函数零点问题江苏徐州市第三十五中学(221003)乔祥敏函数与方程是高考中新增的知识点，而函数零点是的最小值2，求的值；函数与方程中的重要知识之一．虽然函数与方程在考试(2)忌(志∈R)如何取值时，函数一厂(z)-kx存在零说明中是A级要求，但由于函数的零点能与函数的图点，并求出零点．像、性质、导数、三角函数等知识有机地结合在一起，可解析l(1)由导函数和两直线平行关系等知识，可求以综合考查学生的数形结合思想、分类讨论思想、等价出二次项系数，再利用二次函数图像的对称性及最值等转化思想和函数与方程思想，所

2、以近些年高考中出现了知识求出一次项系数和常数项，即得函数—g(z)的解“零点热”．其试题类型主要有如何求函数零点、研究整析式，然后利用-厂(z)一可得Y一厂(z)的解析式Ⅱ数零点、求函数零点所在范围、研究函数零点个数等．一用P、Q两点之间的距离公式和基本不等式可以求出P、、求函数零点函数-厂(z)的零点是使一-厂(z)的值为0的实数zQ两点距离的最小值，从而得到／T／的值；(2)要研究函数的值，即函数一厂(z)的零点就是方程_厂()一0的实数一厂(z)-kx的零点，根据第(1)问可得函数根，所以我们可以直接利用方程思想求

3、出方程．厂()一0一_厂(z)-kx的解析式，利用等价转化的思想，可以把的根，从而解决函数零点问题．函数．y一-厂(z)-kx存在零点转化为方程根的问题，再利【例1】(2012年湖北高考试题)函数f(z)一用分类讨论的思想来解决．XCOSX。在区间[O，4]上的零点个数为()．解：(1)设g()一ax+bx+C(n≠0)，则g()一2ax+6．A．4B5C．6D．7由g(z)的图像与直线Y一2x平行得2a一2，即解析：因为-厂(．z)解析式是因式之积的形式，所以应口一1．分类讨论其中的每个因式为0的情况，即可求出函数的零

4、点，从而确定函数零点个数．又—g(z)在一一l处取得最小值m一1(m≠O)，L解：因为z一0∈Eo，4]，且-厂(0)一0，所以0是函数所以一詈一一1，且g(一1)一口一6+f—m一1，则6—2，厂(z)的一个零点．c一，则．厂(z)一一+丝+2，当z≠0时，COSX一0的解中的的值即厂(z)在(O，上上4]上的零点，令f—z。，根据余弦函数可以近似作出—设P(x。，yo)，则lPQl。一+(-2)。一+(。+n—cost(x~0)的部分图像，如图1所示．因为厶<4一16<)z一2；++2≥2、／／+2，0,92o，由图

5、1可知，在(0，41上有詈、、、、使所以2~／2+2m=2，解得===±√2—1．厶厶厶厶厶厶(2)由(1)知，函数一厂(z)一kx存在零点，即方程COSX一O成立，即(z)一O成立．综上所述，函数厂(z)：XCOS．Z"。在区间[O，4]上的零(1-k)++2—0有实数根，故(1-k)zz+2z+—O．』点有6个，故选C有非零实数根．，当志一1时，方程(1-k)x+2x+m一0的解为z一1＼．．／_＼．、一(≠0)，则函数Y一_厂(z)一kx有一个零点z—04l5m一—2—。．一1当忌≠1时，若A一4—4m(1一k)>

6、0，则方程图1(1-k)x+2x+m：0有两个不相等的实数解，1【例21(2009年广东高考试题)已知二次函数．y—若>0，则忌>1一，g(z)的导函数的图像与直线y=2x平行，且—g(z)在函数Y—f(3g)一kx有两个零点一z一一1处取得最小值一1(≠O)．设函数_厂(z)===-2+-F丽二g!2一1±～『二——■F一一————一Z若m<0，则是<卜1(1)若曲线．y一-厂(z)上的点P到点Q(0，2)的距离，47E-mail：zxjxcklk@163·c。呻数学·专题探讨函数Y—f()一kx有两个零点-z一与h(

7、)一6一图像交点的横坐标．z。一2±~／—4-4m—(1-k)1±、_二二丁在平面直角坐标系中，作出_———一————一一函数g(z)一log~x与h()二==b-z的图像，如图2所示．当-z—a时，当是≠1时，若△一4—4m(1一忌)一0，即k一1-，g(n)一logoa一1，h(口)一b—n>1．则方程(1一k)x+2x~m=0有一个解，即z一一一g(a)；当z一3时，g(3)一log3／12Ⅱ3b<2，(3)一b-3G1

8、3)，即图2。∈(2，3)，所以一2．综上，当忌一1时，函数一厂(-z)-kx有一零点一【例51(2012年福建高考试题)已知-厂(z)一一一—2—6lz。+9x-abc，n1一(>o)或忌<1一(>0)时，函数m①厂(O)厂(1)>0；②-厂(0)