虚设隐零点 巧解高考题

《虚设隐零点 巧解高考题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、虚设隐零点巧解高考题求解导数压轴题时，很多时候都需要求函数在给定区间上的零点，但经常会碰到函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形．此时，可以将这个零点虚设出来而不必求出来，然后谋求一种整体的转换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决．我们称这种解题方法为“虚设零点”法．此解题方法类似于解析几何中的“设而不求”.2例1：（2017年全国II，理21）已知函数fxaxaxxlnx，且fx0.(1)求a；22(2)证明fx存在唯一的极大值点x，且efx2.00解：

2、(1)a1；21（2）由（1）知fxxxxxln，fx'x2x2ln,fx()2x11fx()在0,单调递减，在,单调递增.221即fx()f()ln210min22221又ffe(1)0,()0xe(,)使得fx()0200e2当xx(0,)时，fx()0，xx(,1)时，fx()0，x(1,)时，fx()000fx()在0,,1,x单调递增，在x,1单调递减00即fx

3、存在唯一的极大值点x.0又fx()xx22ln0ln2xx20000022211从而fx()xxlnxx(x)xx000000002421211xe(,)fe()fx()f()002242222222而fe()(e)eeefx20评析：当导函数存在零点且无法求出时，可考虑虚设零点x，再对fx()0进行合理的00变形与代换，将超越式转化为普通式，从而达到化简fx()的目的.再根据零点存在性判定021定理，得出xe(,)，

4、并结合fx()的单调性即可完成证明.0022x例2：（2015年全国Ⅰ文科21（2））设函数fxealnx.2求证：当a0时，fxaa2ln.a解：根据第（1）问可知fx有唯一零点，设零点为x，且fx()在0,单调递增，0当xx0,时，fx0，即fx单调递减；当xx,时，fx0，即fx00单调递增.fx在xx处取得极小值，即fxfxaxeln2x0.0min00fx2e02x0a，解得e2x0a又0.

5、①x2x00a①两边分别取自然对数，得2lnx00aln2x，即lnlnxx002.2aaaaa2所以fx0a0x0axaln22ln2lnaa2lnaa（当且22xx00222aa1仅当2ax0，即x0时取等号）.2x2022评析：欲证fxaa2ln，只需证fxaa2ln，而fx在fx()的minminaa2xafx2e00为超越方程，无法求出其解，故只需“设而不求”，零点处取得.但0x02x0aa2有等式fx02e0

6、的合理变换，得fx00axa2ln，再利用均值x2xa00不等式即可证明.x例3：（2013全国Ⅱ理科21）已知函数fxelnxm.（1）设x0是fx的极值点，求m，并讨论fx的单调性；（2）当m≤2时，证明fx>0.x1解：（1）fxe.由x0是fx的极值点得f00，所以m1.xmxx1于是fxelnx1，定义域为1,，fxe.函数x1x1fxe在1,上单调递增，且f00，因此

7、当x1,0时，x1fx0；当x0,时，fx0.所以，fx在1,0上单调递减，在0,上单调递增.（2）证明：当m≤2，xm,时，lnlnxm2x≤，x则lnxm-lnx2从而fx()e-lnx2x故只需证gx()elnxx20(-2)xx11gxgxe,()e02xx2(2)x1gxe在2,上单调递增.x211又gg110,00

8、，存在唯一x1,0，使得gx000e2当xx2,时，gx0；当xx,时，gx0，00x1从而当xx时，gx取得最小值.由gx0得e0，ln2xx，0000x2021x01故gx≥gxx0.00xx2200综上，当m≤2时，fx0.32例4：（2014年全国Ⅱ文科21）已知函数fxxxax32，曲线y