NA2方程组.ppt

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1、引言为便于以下讨论,把涉及到的有关名词及问题的引出暂介绍如下:如果未知量的个数为n,而且关于这些未知量x1,x2,…,xn的幂次都是一次的(线性的),那末,n个方程a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1┆┆┆(1)an1x1+an2x2+…+annxn=bn构成一个含n个未知量的线性方程组,称为n阶线性方程组其中,系数a11,…,a1n,a21,…,a2n,…,an1,…,ann是给定的常数;b1,…,bn也是给定的常数,通常称为常数项,或称为方程组的右端.方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为Ax=b第二章解线性方程组的直接法/*Direct

2、MethodforSolvingLinearSystems*/其中,A是由系数按次序排列构成的一个n阶矩阵,称为方程组的系数矩阵,x和b都是n维向量,称为方程组的右端向量.使方程组(1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*,…,xn*称为式(1)的解,把它记为向量的形式,称为解向量.我们总是希望方程组有解,且有唯一解.由线形代数的克莱姆(cramer)规则可知,如果方程组(1)的系数矩阵A的行列式(一般记为D=ⅠAⅠ)不等于零,那末,这个方程组有唯一解,而且它们可以表示为xi=Di/D(i=1,…,n)这里,Di是指D中第i列元素用右端b1,…b

3、n代替构成的行列式.如果方程组(1)有唯一解,我们按上面的等式求解,就必须计算n+1个n阶行列式.由行列式的定义,n阶行列式包含有n!项,每一项含有n个因子,计算一个n阶行列式就需要做(n-1)n!次乘法.而我们一共要计算n+1个n阶行列式,共需做(n2-1)n!次乘法.此外,还要做n次除法才能算出xi(i=1,…n).也就是说,用这个办法求解就要做N=(n2-1)n!+n次乘除法运算,这个计算量是大得惊人的.例如,当n=10(即求解一个含10个未知量的方程组),乘除法的运算次数共为32659210次;当=40,乘除法运算次数可达3.181049

4、次.对于上百个未知量的方程组,次数运算量就更大了.因此可莱姆规则在理论上尽管是完善的,但在实际计算中却没有什么实用价值.本文我们将重点讨论求解线形方程组的一种有效的数值方法.(二)求解线形方程组的消元法消(元)去法是求解线形方程组Ax=b(3)和满秩矩阵的逆阵A-1的一种直接方法.尽管它比较古老,但它具有演算步骤,推算公式都系统化的特点(对其中选主元消去法,还可以证明是稳定的).因此,它至今仍然是求解方程组的一种有效的方法.消去法可以引出几种计算方法,下面按三角形方程组和一般线性方程组的顺序来讨论.求解克莱姆法则/*Cramer’sRule*/§2.

5、1高斯消元法/*GaussianElimination*/§2.1GaussianElimination–TheMethod例求解以下方程组：解:采用增广矩阵/*augmentedmatrix*/描述求解过程：思路首先将A化为上三角阵/*upper-triangularmatrix*/，再回代求解/*backwardsubstitution*/。=§2.1GaussianElimination–TheMethod消元记其中Step1：设，计算因子将增广矩阵第i行mi1第1行，得到§2.1GaussianElimination–TheMethod第

6、k步消元：§2.1GaussianElimination–TheMethod共进行？步n1回代Whatif?Nouniquesolutionexists.Whatif?Thenwemustfindthesmallestintegerkiwith,andinterchangethek-throwwiththei-throw.Whatifwecan’tfindsuchk?Nouniquesolutionexists.注：事实上，只要A非奇异，即A1存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。2.1.2程序设计/*Progr

7、anDesign*/使用一维和二维数组。§2.1GaussianElimination–ProgramDesign高斯消去法的运算量(自学)小主元/*Smallpivotelement*/可能导致计算失败。2.1.3选主元消去法/*PivotingStrategies*/例：单精度解方程组/*精确解为和*/8个8个用GaussianElimination计算：8个§2.3GaussianElimination–PivotingStrategies对策§2.1GaussianElimination–PivotingStrategies列主元消去法/

8、*PartialPivoting,ormaximalcolumnpivoting*/在每一步消元之前，针对所