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《椭圆切线的几个有趣性质及其证明.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2006年第9期中学教研(数学)·37·2222c-2(b+c)点的直线交曲线于M,N两点,交虚轴所在直线于P=-2-=22bb点,则有22a=-.→→2bPMPN2a+=.2→→b故定理2得证.MFNF22xy定理3的证明与定理2的证明类似,从略.定理3过双曲线-=1(a>0,b>0)的焦22ab初等数学研究··初等数学研究··初等数学研究··初等数学研究··初等数学研究··初等数学研究··初等数学研究··初等数学研究··初等数学研究中中学学教教研椭圆切线的几个有趣性质及其证明研··中中学学教●崔宝法(浙江海盐县元济高级中学314300)教研研··初等数学研究··初等数学研究··初等数学研
2、究··初等数学研究··初等数学研究··初等数学研究··初等数学研究··初等数学研究··初等数学研究22)唯物辩证法告诉我们:运动是绝对的,静止是相cc(a-cx0
3、F2T
4、=c-2x0=2,对的.世上万物,都是动中蕴静,以静制动,动静相aa2依.而这一规律在椭圆的切线中也有充分的体现.
5、F1T
6、a+cx0∴=.2
7、F2T
8、a-cx0对于椭圆的切线,在全日制普通高级中学教科2
9、PF1
10、a+ex0a+cx0书(必修)数学第二册(上)中虽略有涉及,但没有作又∵==,2
11、PF2
12、a-ex0a-cx0进一步的讨论与研究.事实上,椭圆的切线作为和椭
13、F1T
14、
15、PF1
16、圆位置关系最特殊的直线,尽管它可以与
17、椭圆有相∴=.
18、F2T
19、
20、PF2
21、对任意的动态位置,但仍有着它自身所独有的一些∴PT平分∠F1PF2,即∠F1PT=∠F2PT.结论.下面给出其中几条,并加以证明.又∵∠APT=∠BPT=90°,性质1椭圆的任意∴∠APF1=∠BPF2.一条切线与切点处的两条即椭圆的切线与切点处的两条焦半径所成的角相焦半径所成的角相等.等.证明如图1,设椭圆性质2自椭圆外任一点引椭圆的两条切线,则22xy方程为+=1(a>b>该点与一个焦点的连线平分该焦点与两切点连线段22ab所夹的角.0),且椭圆上任一点为证明如图2,F1,F2是P(x0,y0),F1(-c,0),图122xyF2(c,0)为左、右焦点,
22、离心率为e,则椭圆2+2=1(a>b>0)ab
23、PF1
24、=a+ex0,
25、PF2
26、=a-ex0.的两个焦点,P为椭圆外任设点P处切线为AB,法线为PT(T为法线与x一点,PQ,PQ′为椭圆的两条图2轴的交点),则法线PT的方程为切线,T,T′为切点.2222ay0x-bx0y=(a-b)x0y0.作点F1关于直线PT′的对称点F1′,则22cc令y=0,得x=2x0,故T的坐标为a2x0,0,∠F1′TQ=∠F1TQ.由性质1,有∠PTF2=∠QTF1,所a22)以,∠F′TQ=∠FTQ,得,F,T,F′三点共线,故cc(a+cx01221从而
27、F1T
28、=c+2x0=2,aa·38·中学教研(
29、数学)2006年第9期
30、F2F1′
31、=
32、F2T
33、+
34、TF1′
35、=
36、F2T
37、+
38、TF1
39、=2a.一点为P(acosθ,bsinθ),两焦点的坐标为F1(c,0),同理,作点F2关于直线PT′的对称点F2′,可得F(-c,0),则P点处的切线方程为cosθ+sinθ=1.2ab
40、F1F2′
41、=
42、F1T′
43、+
44、T′F2′
45、=
46、F1T′
47、+
48、T′F2
49、=2a,故两焦点到切线的垂线段长的积为则
50、F2F1′
51、=
52、F1F2′
53、.ccosθ-ccosθ-1-1aa又因为直线PQ是线段F1′F2′的垂直平分线,所·2222cosθsinθcosθsinθ++以
54、PF1
55、=
56、PF1′
57、,同理
58、PF2
59、=PF2′
60、
61、.abab所以△PF2F1′µ△PF1F2′(三边对应相等),=
62、bccosθ-ab
63、·
64、-bccosθ-ab
65、2222bcosθ+asinθ得∠PF2F1′=∠PF2′F1,2222
66、ccosθ-a
67、=b·2222而∠PF2′F1=∠PF2T,bcosθ+a(1-cosθ)222故∠PF2T′=∠PF2T,=b2·a-ccosθ2222(b-a)cosθ+a即PF2平分∠TF2T′,同理可得PF1平分∠T′F1T.2222a-ccosθ2性质3椭圆的一条动切线介于从椭圆外一定=b·222=b(定值).a-ccosθ点引出的两条切线间的部分,在一个焦点的视角是性质5椭圆长轴端点处的两条切线
68、被椭圆上常量.任一点处的切线截得的两切线段之积为定值.证明如图3,设PA,PB为从椭圆外一定点P22xy证明设椭圆方程为+=1(a>b>0),所引的两条定切线,A,B为切22ab点,F2为椭圆的一个焦点,动M(x0,y0)为椭圆上任意一点,则点M处的切线l的切线QR分别交PA,PB于点方程为Q,R.S为切点.x0xy0y+=1,①22设∠AF2B=2α,ab∵PA,PB为定切线,图3而长轴端点A′(-a,0)
