抛物线切线的几个典型性质及其证明

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1、2007年第5期中学数学研究抛物线切线的几个典型性质及其证明浙江省海盐元济高级中学(31430)崔宝法在直线与圆锥曲线的关系问题中，切线是位置最特殊的直线.笔者经过研究发现，抛物线证明:不妨设P、Q的坐标分别为(xl，xZ一Zpkx一ZPm二0，则△=4p2k2十SPm=0，麟‘.、，__.、。D*。二‘必_扩_，、n_世少1/、、汤2，少Zj，，‘‘1乍‘zy、四共汽JZ，2一几~‘，‘吐刀王=由此知尸Q的方程为y=2aO世在抛物线上.kx一2，且xZ=Pk，yZ二kxZ一世_世22世丈护易知过尸点的双曲线的切线方程为学-2与护-一护由y二赶一二1联立2扩a--H+一对粤=1，

2、即y=b2口一得临2无2一aZ)xZ一占2无3Px*鱿对到过过Q点的抛物线的切线方程为，=争aZbZ=0.尸yZ，由于尸Q是它们的公切护线，则△一。4*‘，2一4(。2;2一)(望_2__迎ml!右竺‘兰1=P’-yl二一yZ，即xl=aZ乙2)=0，即PZ无4+4占2龙2一4a2=0.(2)乃诩一曰bZ夕1护二不二“丈_-护bZ少ixZ国翎爪四从aZ=1(a>0，b>0)与抛，yly2=一护(由此知此公切线必是与aZP物线xZ=ZPy(P>0)有共同的焦点双曲线下支相切，即与不包含抛物线焦点的一所以pZ一4a2=4石2，代入(少2)得pZ无4+护y，瑞_支)，结合x羞=2户，2

3、，故xlxZ=aZp一(pZ一4a2)秃2一4a2=0，即乏2=尹2神ZylyZ_护卫一2b2，-一yZ--一2aZ户一故yZ一琴，，，-从而，1+尸，将其代入(1)即得从而k卯诵咫一Xl‘一XZk即诵叫二一1，即艺尸F砚=90。誓一音‘yl+yZ’+’‘夕’类似文〔1]本文的性质可推广为:XIXZ若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重誓一音‘yl▲yZ’一“’合，且双曲线的中心为抛物线的顶点，它们的公(1)切线的切点对该焦点的张角为直角.一2b2下面计算yl+y:的值.不妨设公切线尸Q参考文献的程为y=公十m.【1]米小渊.圆锥曲线的一个优美性质【J].中学学研由y=kx十m与护=

4、ZPy(p>0)联立，得究(江西师大)，207，1.二20中学数学研究2007年第5期作为圆锥曲线中唯一的无心曲线，其切线有着证明:设抛物线少二ZPx(P>0)过焦点F其他圆锥曲线所没有的一些典型性质.下面列(粤，0)的弦两个端点为A(xl，，1)、B(xZ，出其中几条，并给出证明.、2’“产”，，“‘’，’一，，叨八，、/，“、~立’71产、“、~乙’yZ)，则点A、B处的切线方程分别为yly=性质1自抛物线外任意一点引两条切P(x+xl)和yZy二P(x+xZ).设它们的交点线，则(1)此点到焦点的距离恰为两切点处两条焦半径的比例中项;(2)两条切线段在焦点处所yly。=P(

5、x0+xl)，为。(二。，，。)，贝。有{这表张的角相等.龙yZy。=P(x。+xZ)，证明:(1)如图1，设抛物明切点A(x，，yZ)，B(xZ，yZ)都在直线yoy=线方程为少二ZPx(P>0)，焦P(x+x。)上，因此直线AB的方程为yoy=P(多+xo)①点为F(粤，0)，自抛物线外一朴、、/，‘、2’”产’曰甲“脚~‘’又因为直线AB经过焦点，所以将焦点F点丁所引的两条切线的切点山(t，_卫因此两切线的分别为尸(ZptlZ，Zptl)和Q0)坐标代入①得x。二2’妹(2Pt22，ZPtZ)，则尸点处的切线方程为Ztly二M(x。，，。)在准线‘:二一音上▲x+2Pt12

6、，Q点处的切线方程为ZtZy=x+性质3若抛物线准线上任意一点(异于ZPt尹，由此解得两条切线的交点为T(ZPtltZ，顶点)处的切线与通径所在直线及准线各交于一点，则这两个交点到焦点的距离相等.，(:1+:2))，故1刃1’一(2环1:1一音)，+，，(，1卜证明:如图2，设抛物线.卜月二匕月尸+:2)2一4，2o12才22+，2(，12+:22)+子-方程为少=ZPx(P>0)，其亿洲卜/一上任意一点为尸(ZPt“，ZPt)入叶石.厂/(2拼1，+专)(2并2，+音)▲(:，。)，则焦点为F(音，”)，

7、图，又⋯}FP}一2Pt12+音，}咫}一2Pt22+山通径所在直线方程

8、为二一音，音，⋯}刃}’一}邵卜}咫1，即}刃}是}FP卜尸点处的切线方程为Zty=x+ZPtZ，易知切线}FQ!的比例中项.与通径所在直线的交点为A(粤J二，鲤尝‘啥井乙卫)，与4ti(2)‘:直线尸F的斜率k二=4tiZ一1’直线~些巡生卫、_从而可得准线的交点为”(-音4t4t2QF的斜率为k印=直线T石，的斜率_/JJ-世鱼亡二1分_4t尹一1’.AF一冷卫}，.BFI-八IP’，￡，2一Vl(】f‘:___红鱼土些.‘.根据直线交角公式可得I4Pt2‘++P刀“甘一4t