抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程

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1、有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A、B两点结论1：结论2：若直线L的倾斜角为，则弦长证:(1)若时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,(2)若时,设直线L的方程为：即代入抛物线方程得由韦达定理由弦长公式得结论3：过焦点的弦中通径长最小的最小值为,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4：5结论5：(1)(2)x1x2=证结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1，过B点作准线的垂线BB1，过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质

2、和抛物线的定义知故结论得证结论7：连接A1F、B1F则A1FB1F同理A1FB1F结论8：（1）AM1BM1（2）M1FAB（3）（4）设AM1与A1F相交于H，M1B与FB1相交于Q则M1，Q，F，H四点共圆（5）证：由结论（6）知M1在以AB为直径的圆上AM1BM1为直角三角形，M1是斜边A1B1的中点M1FABAM1BM1所以M1，Q，F,H四点共圆，结论9：（1）O、B1三点共线（2）B，O，A1三点共线（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行

3、于X轴5证：因为，而所以所以三点共线。同理可征（2）（3）（4）结论10：证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与轴交点为E,则同理可得结论11：证:(4)x1x2=假设5结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则　　推广与深化：深化1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0），则有．　　证：设AB方程为my=x-a，代入．得：，∴．　深化2：性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x轴于点R，则　　证明：设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为：，　　代

4、入得：，　　即：．　　由性质1得，又设AB的中点为M，则，　　∴，　　∴．　　　　深化3：过抛物线的焦点F作n条弦，且它们等分周角2π，则有　　（1）为定值；（2）为定值．5　　证明：（1）设抛物线方程为．　　由题意，　　所以，　　同理　　易知，　　∴．　　（2）∵，　　　　∴，　　∴．　5