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1、2006年第15期数学通讯29椭圆切线的几个典型性质崔宝法(海盐县元济高级中学,浙江314300)中图分类号:O123.3文献标识码:A文章编号:0488-7395(2006)15-0029-022对于椭圆的切线,在全日制普通高级中学教
2、F1T
3、a+cx0∴=2.科书(必修)数学第二册(上)中虽略有涉及,但没
4、F2T
5、a-cx02有作进一步的讨论与研究.事实上,椭圆的切线作
6、PF1
7、a+ex0a+cx0又∵==2,
8、PF2
9、a-ex0a-cx0为和椭圆位置关系最特殊的直线,有着它自身所独有的一些典型性质.下面给出其中几条性质,并
10、F1T
11、
12、PF1
13、
14、∴=.
15、F2T
16、
17、PF2
18、加以证明.∴PT平分∠F1PF2,性质1椭圆的任意一条切线与切点处的两即∠F1PT=∠F2PT.条焦半径所成的角相等.证如图1,设椭圆方又∵∠APT=∠BPT=90°,x2y2∴∠APF1=∠BPF2.程为2+2=1(a>b>ab即椭圆的切线与切点处的两条焦半径所成的0),且椭圆上任一点为P角相等.(x0,y0),F1(-c,0),F2性质2自椭圆外任一点引椭圆的两条切(c,0)为左右焦点,离心率线,则该点与一个焦点的连线平分该焦点与两切图1椭圆为e,点连线段所夹的角.则
19、PF1
20、=a+ex0,
21、PF2
22、=a-ex0.
23、证如图2,F1,设点P处切线为AB,法线为PT(T为法线与22xyF2是椭圆2+2=x轴的交点),ab则法线PT的方程为1(a>b>0)的两个a2yx-b2xy=(a2-b2)xy,焦点,P为椭圆外任00002一点,PQ,PQ′为椭图2椭圆c令y=0,得x=2x0,故点T的坐标为a圆的两条切线,T,T′为切点.2c作点F1关于直线PT的对称点F1′,则(2x0,0).a∠F1′TQ=∠F1TQ.又根据性质1,有∠PTF2=2c(a2+cxc0)从而
24、F1T
25、=c+2x0=2,∠QTF1,∴∠F1′TQ=∠F2TP,∴F2,T,F1′三aa22点共
26、线,cc(a-cx0)
27、F2T
28、=c-a2x0=a2,∴
29、F2F1′
30、=
31、F2T
32、+
33、TF1′
34、=
35、F2T
36、+
37、TF1
38、=2a.收稿日期:2006-04-04作者简介:崔宝法(1958—),男,浙江海盐人,浙江海盐县元济高级中学高级教师.30数学通讯2006年第15期同理,作点F2关于直线PT′的对称点F2′,可一点为P(acosθ,bsinθ),两焦点的坐标为F1(c,得cosθ0),F2(-c,0),则P点处的切线方程为x+a
39、F1F2′
40、=
41、F1T′
42、+
43、T′F2′
44、sinθ=
45、F1T′
46、+
47、T′F2
48、=2a,y=1,b∴
49、F2F1′
50、=
51、
52、F1F2′
53、.故两焦点到切线的垂线段长的积为又因为直线PQ是线段F1F1′的垂直平分线,ccosθ-ccosθ
54、-1
55、
56、-1
57、aa所以
58、PF1
59、=
60、PF1′
61、,·cosθ2sinθ2cosθ2sinθ2同理
62、PF2
63、=
64、PF2′
65、,(a)+(b)(a)+(b)∴△PF2F1′≌△PF1F2′(三边对应相等),
66、bc·cosθ-ab
67、·
68、-bc·cosθ-ab
69、=2222bcosθ+asinθ∴∠PF2F1′=∠PF2′F1,而∠PF2′F1=2222
70、ccosθ-a
71、∠PF2T′,∴∠PF2T′=∠PF2T,=b·2222bcosθ+a(1-co
72、sθ)即PF2平分∠TF2T′,同理可得PF1平分2222a-ccosθ=b·2222∠T′F1T.(b-a)cosθ+a222性质3椭圆的一条动切线介于从椭圆外一2a-ccosθ2(定值).=b·222=ba-ccosθ定点引出的两条切线间的部分,在一个焦点的视性质5椭圆长轴端点处的两条切线被椭圆角是常量.上任一点处的切线截得的两切线段之积为定值.证如图3,设PA,22xyPB为从椭圆外一定点P证设椭圆方程为2+2=1(a>b>0),ab所引的两条定切线,A,BM(x0,y0)为椭圆上任意一点,则点M处的切线l为切点,F2为椭圆的一个的方程为:
73、焦点,动切线QR分别交x0xy0yPA,PB于点Q,R,S为切a2+b2=1(1)图3椭圆点.而长轴端点A′(-a,0),A(a,0)处的两切线设∠AF2B=2α,因为PA,PB为定切线,所以m,n的方程分别为x=-a和x=a,综合起来即:2α为常量.x2-a2=0(2)连PF2,则由性质2可知从(1),(2)消去x,得∠PF2A=∠PF2B=α.a2y2y2-2a2b2yy+a2b4-b4x2=0(3)000又因为QA,QS也是椭圆的两条切线,设切线l与切线m,n分别交于点N′(-a,∴∠QF2A=∠QF2S;y1),N(a,y2),则由方程(
74、3)可得同理,RB,RS也是切线,22222b(ab-bx0)2∴∠SF2R=∠RF2B.y1·y2=a2y2=b,0∴∠QF2R=∠Q
