自动控制系统-时域分析法3.ppt

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1、分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自动控制理论的基本任务之一。一、系统稳定的充分与必要条件二、劳斯稳定判据三、结构不稳定系统的改进措施第三章时域分析法第三节控制系统的稳定性分析第三节控制系统的稳定性分析一、系统稳定的充分与必要条件稳定性：处于某平衡状态系统在扰动作用下偏离原来的平衡状态后，系统能否回到原来的平衡状态。系统输出拉氏变换：系统传递函数的一般表达式：Ф(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=C(s)R(s)b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bmn≥m(s)R(s)a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=C(s)=1b0sm+b1sm-1+…+bm-

2、1s+bmФ۠SA0=SS-S1…+++A1AnS-Sn系统单位阶跃响应：c(t)=A0+A1es1t+…+Anesnt稳定的系统其瞬态分量应均为零。即：limesit→0t→∞系统稳定的充分与必要条件：系统所有特征根的实部小于零。第三节控制系统的稳定性分析二、劳斯稳定判据根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难.劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,经过代数运算来判别系统的稳定性。第三节控制系统的稳定性分析根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：设系统的特征方程为a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0a0a2a

3、4…a1a3a5…b42sn-3……………s0snsn-1sn-2b31b32b33b31=a1a2-a0a3a1b41b32=a1a4-a0a5a1b41=b31a3-b32a1b31b42=b31a5-b33a1b31b43……bn+1第三节控制系统的稳定性分析若特征方程式的各项系数都大于零，且劳斯表中第一列元素均为正值，则系统是稳定的。否则，系统为不稳定，且第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。劳斯稳定判据：第三节控制系统的稳定性分析例已知系统的特征方程，试判断该系统的稳定性。解：S4+2S3+3S2+4S+5=0劳斯表如下：135s1s0s4s3s2b31b32b4

4、1b5124b31=2*3-1*42=11b32=2*5-1*02=55b41=1*4-2*51=-6-6b51=-6*5-1*0-6=55有两个正实部根，系统为不稳定。第三节控制系统的稳定性分析例3-7系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。KS(0.1S+1)(0.25S+1)_R(s)C(s)解：首先求出系统的闭环传递函数Ф(s)=S(0.1S+1)(0.25S+1)+KK特征方程:S3+14S2+40S+40K=0劳斯表:140s3s21440Ks1b31b31=14*40-1*40K14>0s0b4140K系统稳定的条件:560-40K>040K>014>K>0第三节控制

5、系统的稳定性分析如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根,系统不稳定.而该行中其余各元素不等于零，此时，可用一个接近于零的很小的正数ε来代替零，完成劳斯表的排列。第三节控制系统的稳定性分析例已知系统的特征方程，试判断系统的稳定性。劳斯表为:系统有一对纯虚根系统不稳定S3+2S2+S+2=0解：11s3s222s1b31b31=0(ε)εs0b412通过因式分解验证:S3+2S2+S+2=(S+2)(S2+1)=0S1=-2S2.3=±j第三节控制系统的稳定性分析例已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定方程的根在S平面上的分布。解：S3-3S+2=0方程中的系数有负值，系统不稳定。劳

6、斯表为:1-3s3s202s1b31b31=-∞s0b412ε-3ε-2εε→0b31→-∞通过因式分解验证:S3-3S+2=(S-1)2(S+2)=0S1.2=1S3=-2第三节控制系统的稳定性分析如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有纯虚根,系统不稳定.此时,应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根.第三节控制系统的稳定性分析例已知控制系统的特征方程,试判断系统的稳定性由为零上一行的元素组成辅助多项式：S6+2S5+8S4+12S3+20S2+16S+16=0解：劳斯表为:182016s6s5212

7、16s42s301612P(s)=2S4+12S2+16dP(s)dS=8S3+24S代入0824s21668/3s1s016劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。系统有虚根,不稳定第三节控制系统的稳定性分析三、结构性不稳定系统的改进措施调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。KS2(TS+1)_R(s)C(s)如：Ф(s)=TS3+S2+KK闭环传递函数：TS3+S2+K特征方