期末数理统计.ppt

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1、复习课第五章统计量及其分布§5.1总体与样本§5.2样本数据的整理与显示§5.3统计量及其分布§5.4三大抽样分布§5.5充分统计量样本均值的分布设X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本，是样本均值，则有样本方差的分布设X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有n取不同值时的分布设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有例1设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体X和Y的s.r.s,则证明：故，且与独立,所以例2解例3解例4设x1,x2,…,xn是取自总体U(0

2、,)的样本，即总体的密度函数为p(x;)=1/,0x0,其他于是样本的联合密度函数为取T=x(n)，并令g(t;)=(1/)nIt,h(x)=1，由因子分解定理知T=x(n)是的充分统计量。p(x1;)…p(xn;)=0,其它(1/)n,0minximaxxi由于诸xi0，所以我们可将上式改写为p(x1;)…p(xn;)=(1/)nIx(n)练习：设x1,x2,…,xn是来自泊松分布P()的一个样本,证明是充分统计量。取T(x)=xi,h(x)=P(X=x)=[T(x)e-n

3、]h(x)由因子分解定理，T(x)=xi是的充分统计量。则上式可改写为§6.1点估计的几种方法§6.2点估计的评价标准§6.5区间估计第六章参数估计点估计的几种方法替换原理和矩法估计替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如：用样本均值估计总体均值E(X)，即；用样本方差估计总体方差Var(X)，即用样本的p分位数估计总体的p分位数.矩法估计的基本思想：用样本矩代替母体矩即从中解出.例5x1,x2,…,xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于不难推出由此即可得到a,b的矩

4、估计：解：练习极大似然估计的关键点X1,X2,…,Xn出现的可能性：(1)离散场合：(2)连续场合：称以上L的为似然函数。例6求泊松分布中参数l的最大似然估计.解已知总体x的概率函数为泊松分布(续)例7：指数分布已知x1,x2,...,xn为x的一组样本观察值,求q的最大似然估计.解似然函数解似然函数为对数似然函数为练习：设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本求θ的最大似然估计值.其中θ>0,求导并令其为0=0从中解得即为θ的最大似然估计值.对数似然函数为1、相合性（大样本的角度）2、无偏性（从期望的角度）3、有效性（从方差的角度）4、均方

5、误差准则（角度）点估计的评价标准解似然函数要使L(θ)达到最大，即1/θn尽可能大，所以θ的取值应尽可能小，但θ不能小于X(n)，由此给出θ的极大似然估计：例8设x1,x2,…,xn是来自均匀总体U(0,)的样本，证明的极大似然估计是相合估计。由次序统计量的分布，我们知道x(n)的分布密度函数为p(y)=nyn-1/θn,y<,故有故X(n)是的相合估计。例9对均匀总体U(0,)，由的极大似然估计得到的无偏估计是，它的均方误差现我们考虑θ的形如的估计，其均方差为用求导的方法不难求出当时上述均方误差达到最小，且其均方误差所以在均方误差

6、的标准下，有偏估计优于无偏估计。正态总体未知参数的置信区间共分四种情况：(1)已知，的置信区间(2)未知，的置信区间(3)已知，2的置信区间(4)未知，2的置信区间例10设总体X~N(,0.92)，X1,X2,…,X9为X的一个样本，样本均值为5，求的95%的置信区间。解因为的1置信区间为所以由u0.975=1.96，得4.412,5.588,所求置信区间为(4.412，5.588)2未知时的置信区间这时可用t统计量，因为，因此t可以用来作为枢轴量。完全类似于上一小节，可得到的1-置信区间为此处是2的无偏估计

7、。例11假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有=4.7092，s2=0.0615。取=0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）正态总体参数假设检验参数假设检验常见的有三种基本形式(1)(2)(3)(1)关于，2巳知用u检验iii)H0：=0H

8、1：0i)H0：0H1：>0ii)H0：0H1：<0拒绝域为W3={

9、u

10、≥u1/2}拒绝域为W1={u≥u1}