矩阵与向量组.ppt

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1、教学目的掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量（组）的判定方法，会用初等变换求解向量的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基本判定方法。作业重点向量组的线性表示、相关性及判定方法练习册难点向量组线性表示方法讲授方法讲授讲授内容主线向量定义-分类—线性组合—线性表示及秩的判断定理和推论—练习—向量组线性表示及等价和秩的判断方法—向量组线性相关定义－判定方法时间安排向量向量组的线性表示通过解析成矩阵方程组,可用秩的判定方法来判定和求解线性表示系数。线性相关性则是通过等价定义的齐次方程组来判定.班级：星期：节年月日第八讲：向量组的线性表示与线性相关性1友情提示本次课讲第四章第一二节：向量组的线性表示

2、与线性相关性；下一次课讲第四章第二节（续）与第三节：相关性与向量组的秩；下次上课时交作业P25－P262第八讲：向量组的线性表示与线性相关性3一、向量组及其相关概念1.向量:(1)向量的定义(2)向量与矩阵n维向量可写成一行—行向量；也称行矩阵；也可写成一列—列向量，也称列矩阵因此规定：行向量和列向量都按矩阵的规则进行运算（3）向量的记法：1）列向量用用字母表示；行向量用表示.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性42.向量组的概念（1）向量组的定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合：如矩阵：有n个m维列向量（2）所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量第八

3、讲：向量组的线性表示与线性相关性5（2）矩阵与向量组：由m个n维行向量所组成的向量组构成一个m×n矩阵因此，矩阵与它所对应的行（列）向量组有一一对应的关系，向量组称矩阵的向量组，矩阵称向量组的矩阵矩阵A组成的向量组称为矩阵A的列向量组；反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.由m个n维列向量所组成的向量组构成一个n×m矩阵();,,,21maaaAL=第八讲：向量组的线性表示与线性相关性63.线性组合的概念：定义2给定向量组A：，对于任何一组实数向量称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数.4.线性表示的概念：给定向量组A：和向量，如果存在一组数使则向量是向量组A的线性组

4、合，这时称向量能由向量组A线性表示。线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解第八讲：向量组的线性表示与线性相关性7即向量能由向量组线性表示.例如：5.向量组由向量组线性表示概念定义3设有两个向量组A：及B：，则称向量组B能由向量组A线性表示。6.向量组的等价：向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。这是第二次遇到等价概念：一个是矩阵间互相初等变换的等价；这里是向量组间间互相线性表示的等价若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，第八讲：向量组的线性表示与线性相关性87.向量组的线性相关概念(1)定义给定向量组A：，如果存在不全为零的数使则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无

5、关“否则”只有当时，式才成立。或若向量组A：，线性无关，且式成立，则必有第八讲：向量组的线性表示与线性相关性9二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数向量能由向量组A线性表示，也就是方程组有解证：将方程组变形为：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性10第八讲：向量组的线性表示与线性相关性11（1）秩的等式定理2:的秩等于矩阵向量组:能由向量组:线性表示的充分必要条件是矩阵的秩.即:2.用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数.设向量组A与向量组B所构成的矩阵依次记作B组能由A组线性表示，即对每个向量第八讲：向量组的线性表示与线性相关性12第八讲：向量组的线性表示与线性相关性13特别提示：

6、定理所涉及的向量组均是列向量组，方程组的解也是列向量表示，“行变换、列向量”一定要记牢(2)两个推论。由以上定理，不难推出以下结论分析：由定理2和向量组等价定义易推出结论成立第八讲：向量组的线性表示与线性相关性14（4）线性表示秩的解法的概括：例2：设向量组证明:能由向量组线性表示,并求出表达式.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性15证：～R(A)=R(B)=2,因能由向量组线性表示.所以(其中C可取任意值)第八讲：向量组的线性表示与线性相关性16第八讲：向量组的线性表示与线性相关性17第八讲：向量组的线性表示与线性相关性例3（05，2，9分）18第八讲：向量组的线性表示与线性相关性19继

7、续往行阶梯化下去：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性20三、用方程组判定线性相关无关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性21（1）按照定义判定。思路：用定义，无关即向量的齐次线性方程组只有非零解，即系数行列式不等于零证:设有使即因线性无关，故的系数只有零解4.线性相关性的判定：例4已知向量组线性无关，试证向量组线性无关.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性22此方程组的系数行列式为方程组只有零解所以向量组