《向量组与矩阵》PPT课件.ppt

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1、1向量组与矩阵2极大线性无关组与向量组的秩3向量组的秩与矩阵秩的关系第三章第二讲一、向量组与矩阵由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.m个n维的行向量所组成的向量组构成矩阵：n个m维的列向量所组成的向量组构成矩阵：向量组　称为矩阵A的行向量组．问题：是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题？例如研究列向量组的线性相关性，只须考察方程是否有非零解。利用矩阵乘法，方程变形为这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：行向量组线性相关的充要条件是线性无关的充要条件是推论定理1若列向量组所构造的矩阵A，则例1讨论下列向量组的线性相关性解（

2、1）向量组是3个二维向量，故线性相关。（2）由矩阵初等行变换(1)如果线性相关，那么也线性相关。定理3在r维向量组的各向量添上n-r个分量变成n维向量组。(2)如果线性无关，那么也线性无关。定理2设p1,p2,…,pn为1，2，…，n的一个排列，和为两向量组，其中即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。例2设向量组且t互不相等，证明线性无关。i证明：考察向量组设则其行列式

3、B

4、为范德蒙行列式，由于t互不相等，所以

5、B

6、≠0，i所以线性无关，从而线性无关。二、极大线性无关组与向量组的秩定义1一向量组的一

7、个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。极大无关组中向量的个数就称为向量组的秩。易知有如下结论：（1）一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。（2）向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数。例3基本向量组是Rn的极大无关组。解由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由它线性表示（即坐标表示）。定理4如果向量组能由向量组线性表出，且向量组A线性无关，那么。证明不妨设所给向量都是列向量，记矩阵由已知可得记则

8、反证法，假设，则矩阵K的列向量组线性相关，即有不全为0的数使得即与向量组A线性无关矛盾，所以推论2等价的向量组必有相同的秩。推论1等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量。推论3秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。三、向量组的秩与矩阵的秩的关系设矩阵则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成，从而可以得到一个行向量组和列向量组。矩阵A行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为列秩。定理5矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。证设矩阵A的行秩为r1,A的列秩为r2。那么,A中有r1个行向量线性无关,从而

9、A中有一个r1级子式D不为零,那么A中子式D所在的r1个列向量也线性无关;即有。再由矩阵秩的定义，证毕。定理6如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B,则A的列向量与B中对应的列向量有相同的线性关系。因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换求出列向量的秩，还可以进一步确定其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。同理可证。因而。例4求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极大无关组的向量用该极大无关组线性表示：解把向量组按列排成矩阵A注意：求向量组的秩和极大线性无关组时，若所给向量是行向量，也要先按列排成矩阵，再作初等行变

10、换。若没有要求交其余向量用所求的极大线性无关组线性表示，则只要化为行阶梯形就行了，而不必化为行最简形。例5求下面向量组的秩和一个极大无关组：解把向量组按列排成矩阵A四、小结初等变换法求秩3.向量组的秩的概念及与矩阵秩的关系(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).2.极大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性．矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩1.向量与矩阵的关系：互相确定向量组的秩：极大无关组的向量的个数