张量定义及算法.pdf

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1、§4张量算法一、张量概念Nn[张量的一般定义]若一个量有n个分量，而每个分量在n维空间R中的坐标变换ii1nxxx,,x(i=1,···,n)之下，按下面的规律变化：jiixj1xlx1xmTj1jlTj1jli1imj1jliii1imxxx1xmjjijjijjN式中T1l是x的函数，T1l是x的函数，则量T1l(共有n个分量)称为l阶逆变(或抗变)mi1imiii1im1m阶协变的N(=l＋m)阶混合张量(或称为(l＋m)型混合张量).张量概念是矢量和

2、矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵(方阵)是i二阶张量，而三阶张量(例如T)好比“立体矩阵”(图8.18右).更高阶的张量不能用图形表达.jk下面列出n=2时的张量示意图：[张量举例]1可乘张量设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量a,b是已知的，则由等式ikikiiiiTab,Tab,T.ab,Tabikikkkkk确定的都是二阶张量，称为可乘张量.i2克罗内克尔符号克罗内克尔符号是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是j因为从iixxiijjxx可得iiijixxxxijijijjxxx

3、x[二阶对称张量与反对称张量]若张量满足等式ikkiikTT,TT,TTikkiki则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式ikkiikTT,TT,TTikkiki则分别称为二阶反对称协变张量、二阶反对称逆变张量和二阶反对称混合张量.张量的逆变(协变)指标的对称性质在坐标变换下是不变的.在三维空间中，二阶反对称张量与矢量等价.二、张量代数[指标的置换]指标置换是张量代数的最简单运算，利用它可作出新的张量.例如，通过kiikki指标置换，可由张量T得到新的张量T，它的矩阵是张量T的矩阵的转置矩阵.[加(减)法]同类型

4、的若干个张量的对应分量相加(或相减)就得到一个新的同类型张量的分量，这种运算称为张量的加法(或减法).任何二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分.例如11TTTTTikikkiikki22[张量的乘法]把两个张量的分量按各种可能情形相乘起来，就会得到一个新张量的分量.这个张量的逆变与协变的阶数分别等于原来两个张量的逆变与协变的阶数之和.这种运算称为张量的乘法.例如Tr1rls1skTr1rlTs1skp1pmt1thp1pmt1th这是一个l＋k阶逆变m＋h阶协变的混合张量，它的阶数为l＋m＋k＋h.

5、注意，张量乘法的次序是不可交换的.[张量的缩并]对一个给定的混合张量，把它的一个逆变指标与一个协变指标相等的相加起来，得出阶数较低(逆变和协变各低一阶)的张量，这种运算称为张量的缩并.例如s2sls1s2slTTq2qms1q2qm是一个l－1阶逆变m－1阶协变的混合张量.ijij[指标的升降]在应用中经常用二阶逆变张量adeta0的相乘与缩并来“升高”张量的协变指标，用二阶协变张量adeta0相乘与缩并来“降低”张量的逆变指标.这种ijijij运算称为指标的升降.例如Tijk就可由a和aij升降：illjllkllaTT,

6、aTT,aTTijkjkijkikijkijiljmlmilkmlmiljmkplmpaaTijkTk,aaTijkTj,aaaTijkTjkijkkijkijkTaT,TaaT,TaaaTlillmiljmlmpiljmkpiii'i'ii'ii[张量的商律]设T1l和T1l各为一组x和x的函数，如果对任意逆变矢量与及j1jmj'j'1m'任一指标jk，jk使i1iljkiiT与T1lj1jkjmjjjj1kmk成为张量，则Ti1il必为张量.这种判别张量的法则称为张

7、量的商律.j1jmijijii例如T与T各为x，x的函数，而且klmklmijkmijlijlxxxxTklmTklmijkmxxxx则lijkmijlijlxxxxxTklmTklmlijkmxxxxx即ijklmijijxxxxxlTklmTklmijk'lm0xxxxxlij对所有的都成立，所以上式括号中的表达式等于零，因此T是张量.klm以任意协